2o ciclo Duda sobre el Principio de Equivalencia

[Skivo]

Hola, tengo una duda que me ha surgido al pensar en un artilugio espacial que pudiera albergar futuras colonias de personas...

La forma del artilugio es conocida, una especie de rueda giratoria cuyo perímetro es una superficie plana y donde al girar, en la superficie interior del perímetro, los habitantes sufrirían una fuerza inercial centrífuga equivalente a la acción gravitatoria. Creo que se entiende.

Bien, ahora el tema relativista: sabemos el efecto que produce en la medición del tiempo la velocidad relativa y también sabemos por RG cómo afecta en campos gravitatorios. En la superficie de la Tierra tendríamos ambos efectos, el producido por la velocidad de rotación de la Tierra y el producido por su campo gravitatorio, suponemos que hacemos medida desde dicha superficie y la comparamos con otro sistema de referencia exterior en órbita, un satélite geoestacionario por ejemplo.

Ahora sustituimos la Tierra por nuestra Colonia Espacial. Esta gira de tal modo que sus habitantes no notan la diferencia entre la fuerza centrífuga que les pega al suelo y el campo gravitatorio del planeta Tierra. La duda que me surge es si el Principio de Equivalencia es válido, es decir, si el efecto sobre los relojes producido en su perímetro por la velocidad de giro de la nave es igual a la suma exacta de los efectos sobre la superficie terrestre (a nivel del Ecuador), la suma del efecto producido por la velocidad de rotación más el efecto gravitatorio. No existiendo en nuestra nave campo gravitatorio como el Terrestre.

O si no serían sistemas equivalentes aunque los habitantes sufran una aceleración idéntica aunque de sentido opuesto.

Creo que me he explicado. ¿hay demostración de esto? sea la respuesta que sea?

Gracias!

[pod]

Re: Duda sobre el Principio de Equivalencia

Yo diría que el principio de equivalencia no es fácilmente aplicable a esta situación. El principio se refiere a aceleraciones uniformes que ocurren en todo el sistema de referencia no inercial, y no es el caso.

Por suerte, en este caso no necesitamos para nada recurrir a la relatividad general. Los objetos en rotación pueden ser fácilmente tratados en la relatividad especial (se hace de forma rutinaria en los aceleradores de partículas). Podemos situar un sistema de referencia inercial exterior a la estación espacial y calcular el tiempo propio de los habitantes de la colonia (es decir, el tiempo que "viven", el que marcaría un reloj de pulsera que llevaran). Ese tiempo propio se puede comparar con el tiempo coordenado del sistema de referencia (es decir, el tiempo que mide el sistema de referencia exterior a la estación).

Hagamoslo rápidamente. En el SRI exterior, el movimiento de un colono sería simplemente

$$x^\mu = (ct, R \cos\omega t, R \sin\omega t, 0) .$$

Se trata de un observador que está en reposo relativo con el centro de masas de la estación, pero es inercial. Es decir, está "quito" al lado de la estación sin rotar; su tiempo viene dado por t. El tiempo propio (medido por un colono) viene dado por la integral

$$\tau = \frac1{c}\int\! \dd t\ \sqrt{ c^2\dd t^2 - \dd x^2 - \dd y^2 - \dd z^2 } = t \sqrt{ 1 - \left(\frac{R\omega}c\right)^{\!\!2} } .$$

Para hacer la integral simplemente se toman los diferenciales de cada componente, por ejemplo $dx = - R \omega \sin\omega t$. Como la raíz siempre es menor que uno, esto nos dice que el tiempo medido por el habitante siempre será menor que el de un observador externo. Puedes comparar este resultado con el efecto gravitatorio que tenemos en la Tierra.