Otras carreras 3 Masas unidas por una cuerda

[asde_asd2]

Hay 3 partículas de igual masa m unidas por una cuerda (inextensible y con masa despreciable) de largo 2A como muestra la figura.
Las partículas de los extremos parten con una velocidad inicial v₀ como se ve en la gráfica. Determinar las velocidades de las partículas al momento del choque.

La siguiente es la forma en que lo resolví pero me falta una parte.

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Dado que no existen fuerzas externas, la cantidad de movimiento del centro de masa del sistema de partículas será constante.

La cantidad de movimiento inicial del centro de masas:

M_T.V_cm= m.v₀+m.v₀
V_cm=2v₀/3

Luego de eso digo que al momento del choque, la velocidad del centro de masas tiene que ser la misma por lo que, como las partículas que chocan tendrán velocidades en la dirección vertical (por seguir la trayectoria circular) la única partícula que puede dar la velocidad horizontal para el centro de masas es la que arrancaba con velocidad nula. De ahí me queda que la velocidad de ésta partícula queda como 2v₀ (nuevamente aplicando lo de la cantidad de movimiento constante).
Pero tengo una duda de lo anterior, realmente están en vertical las velocidades de las partículas que chocan? Al haber una traslación (se ve que el centro de masa se mueve) no podrían tener una componente horizontal aparte de la velocidad tangencial que necesitan para describir el movimiento circular? Les agradecería si pudieran contestarme esa duda. Si es así entonces sigo:

Me quedan calcular las dos velocidades de las partículas que chocan:

Podría hacerlo con definiciones de torques o momento angular, pero al ver bien se cancelan ambas por lo que no modifican al torque o momento angular total.

Y con el concepto de energía cinética interna no podría ya que hay una tensión (que no veo fácil de calcular) por lo que no es constante.

Alguna ayuda? Gracias!

[arivasm]

Re: 3 Masas unidas por una cuerda

Quizá se pueda abordar del siguiente modo: como el sistema tiene simetría respecto del plano que pasa por la masa central, las velocidades de las partículas superior e inferior deben guardar esa simetría.

Por otra parte, como las cuerdas son inextensibles, en el momento del choque las tres partículas deben tener la misma componente horizontal de la velocidad, que será, entonces, por la conservación del momento lineal, $\frac{2}{3}v_0$.

Para encontrar las componentes verticales de las velocidades de las dos partículas que chocan deberían poder obtenerse por conservación de la energía cinética del sistema: $2v_0^2=3\frac{4}{9}v_0^2+2v_y^2$ y entonces $|v_y|=v_0/\sqrt{3}$

[asde_asd2]

Re: 3 Masas unidas por una cuerda

Me di cuenta que estaba errado y había empezado a pensar algo como vos, pero que las cuerdas sean inextensibles no impide que las cuerdas se doblen no? así que la primera partícula puede superar en velocidad las otras dos (dado que le pueden transmitir una dada velocidad pero después volver a bajar de velocidad). Pero pensándolo mejor, si la partícula de atrás no se acelera mientras que las otras frenan habría una desaceleración del centro de masa, pero esto sería imposible, así que esta parte sería correcta.
Pero la segunda parte, ¿no habría que dividir la energía cinética en interna y orbital?

[arivasm]

Re: 3 Masas unidas por una cuerda

Tienes razón en que nada impide que las cuerdas se doblen, lo que equivaldría a decir que dejen de ejercer tensión y, al ser la única fuerza actuando sobre las partículas (y tener en cuenta, además, la simetría del problema, que garantizaría que afectaría a la partícula central en ambas cuerdas), las partículas tuviesen un movimiento rectilíneo uniforme. Por tanto, si nos ponemos rigurosos, deberíamos adoptar un enfoque dinámico para contemplar tal posibilidad.

De todos modos, el hecho de que el movimiento inicial implique la actuación de la tensión, curvando entonces las trayectorias de las partículas de los extremos hacia el plano de simetría, parece indicar que en todo momento habrá tensión en las cuerdas.

Con respecto a tu pregunta, lo que dices es correcto, pero no encuentro beneficio alguno en recurrir a ese enfoque. Dicho de otra manera: puedes hacer esa separación, pero no es obligado hacerla. El planteamiento que propuse pasa por emplear el sistema de referencia del laboratorio a lo largo de todo el ejercicio.

Una prueba de la corrección de lo que te propuse es la siguiente: recurramos al sistema de referencia del centro de masa (con lo que estará claro que no tenemos que dividir la energía cinética como indicas). Como bien razonaste, la velocidad del mismo (que será uniforme por estar el sistema libre de fuerzas exteriores) será horizontal y de valor $\frac{2}{3}v_0$ respecto del SR del laboratorio. Por tanto, en la situación inicial, en dicho SR la masa central se mueve hacia la izquierda con dicha velocidad, mientras que las otras dos se mueven hacia la derecha con una velocidad $\frac{1}{3}v_0$.

En el momento del choque, la conservación del momento lineal y el hecho de que la cuerda sea inextensible nos asegura que, si la cuerda está tensa, las componentes horizontales de la velocidad en dicho SR serán nulas (lo que lleva a la componente horizontal en el SR del laboratorio del mensaje anterior), de manera que las dos partículas que colisionan tendrán velocidades verticales. Como en el SR del cdm la energía cinética inicial era $K=\frac{1}{2}mv_0^2\left(\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{2}mv_0^2\,\frac{2}{3}$, igualando con la energía cinética del sistema en el momento del choque, $K'=2\frac{1}{2}mv_y^2=\frac{1}{2}mv_0^2\,\frac{2}{3}$, de donde resulta, como antes $v_y=v_0/\sqrt{3}$.

Por cierto, si quieres, puedes recurrir a la separación de la energía cinética que señalas: aquí habríamos obtenido la parte interna. Súmale la orbital (sería $\frac{1}{2}3m\,\frac{4}{9}v_0^2$) y tendremos la inicial en el SR del laboratorio ($2\frac{1}{2}mv_0^2$)