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Condensador con dieléctricos

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  • 1r ciclo Condensador con dieléctricos

    Hola, tengo el siguiente ejercicio en el que me han surgido muchas dudas. ¿Alguien podría echarme una mano? Gracias.
    Una esfera hueca con carga q y radio a está recubierta con una capa dieléctrica esférica de radio exterior b y permitividad ε1. El conjunto está inmerso en un medio de extensión infinita de permitividad ε2, tal y como se muestra en la figura. Si los dos medios dieléctricos son simples (homogéneos, lineales e isótropos), calcular:

    a) Los vectores campo E , D y P en todo punto del espacio
    b) Las densidades superficiales de carga de polarización y real en r = a, r = b y r = 2b
    c) Las cargas totales de polarización de ambas regiones dieléctricas

    Haz clic en la imagen para ampliar

Nombre:	sphere_with_dielectrics.png
Vitas:	1
Tamaño:	3,4 KB
ID:	310365

    Solución: b) Para r=a, C/m2, en r=b, C/m2, en r=2b, σsp=0 C/m2

    En el apartado a) creo que no tengo ninguna duda. Obtengo:

    - ,
    - , , ,
    - , , ,

    Ahora bien, para el apartado b) utilizo: , siendo la densidad de carga polarizada y el vector perpendicular a la superficie que va de -sigma a +sigma.

    Pero cuando lo aplico para la carga polarizada en el primer dieléctrico me sale con en el denominador, mientras que en la solución no es así. Además, tampoco comprendo la suma que hay en la carga del segundo dieléctrico. Aquí me he quedado

    ¿Alguien puede ayudarme? Gracias
    Última edición por Pepealej; 05/04/2013, 00:56:20.


  • #2
    Re: Condensador con dieléctricos

    Hola:

    Este tema siempre me dio problemas, asi que si no te molesta me voy a explayar, aunque no garantizo que todo lo que ponga sea correcto.

    Para empezar en el enunciado pones permitividad, o constante dieléctrica, de los dieléctricos 1 y 2 como , y después pones en tu respuesta y en los resultados que te dan a como permitividades relativas.
    Voy a asumir que los datos del problema son las permitividades relativas , si no es asi el procedimiento debe ser el mismo.

    El vector desplazamiento sabemos que es:



    Por la definición de susceptibilidad eléctrica:



    y como resulta:





    Por ultimo la conocida:



    En el ejercicio la única carga libre que hay esta en la esfera conductora, llamada q. Por lo tanto dividiendo el problema en tres zonas y usando coordenadas esféricas (donde representa el versor unitario radial), podemos empezar el problema:

    1º Zona





    2º Zona







    Tomando una esfera como superficie de integracion y como el vector D es paralelo al vector dS, y por condiciones de simetría podemos sacar D fuera de la integral queda:



    ó



    ó



    ó

    3º Zona







    Análogamente al caso anterior:

    ó

    ó

    ó

    Para el punto b del problema tenemos:





    y






    En esta superficie, interface de dos dieléctricos hay dos densidades de carga superficiales producidas por los vectores de polarización correspondientes a cada dieléctrico que comparten la superficie.



    en este caso



    Bueno hasta acá llego, evidentemente me da lo mismo que a vos.
    O los dos nos equivocamos en lo mismo (muy probable), o las respuestas que te dieron están mal. Esperemos que algún otro forero haga su aporte, y no dejes de comentarme si encontras el error.
    Gracias

    Suerte
    No tengo miedo !!! - Marge Simpson
    Entonces no estas prestando atención - Abe Simpson

    Comentario


    • #3
      Re: Condensador con dieléctricos

      Ya veo. Muchas gracias. Solo un par de preguntas:

      ¿Por qué para calcular ?

      Que da un último apartado: . Obviamente es 0, dado que no se genera ninguna carga en r=2b pero, ¿cómo lo desmuestro por fórmulas?

      Gracias

      Comentario


      • #4
        Re: Condensador con dieléctricos

        Hola:

        Escrito por Pepealej Ver mensaje
        ¿Por qué para calcular ?
        Creo que algo había puesto en el post anterior, voy a tratar dentro de mis limitaciones ampliar el concepto.

        Cuando vos polarizas un dieléctrico con un campo eléctrico E, en todo su volumen se produce una redistribución de las cargas que consiste en el alineamiento de los dipolos eléctricos internos del material.

        Haz clic en la imagen para ampliar

Nombre:	Sin título.jpg
Vitas:	1
Tamaño:	23,6 KB
ID:	301745

        Se demuestra que esta distribución de los dipolos eléctricos internos se puede reemplazar por un arreglo de cargas que consiste en una densidad volumetrica de carga dentro del dieléctrico , y una densidad de carga superficial en toda la superficie que encierra al dieléctrico .

        Cuando vos tenes dos dieléctrico en contacto mutuo, la superficie que queda entre ambos dieléctricos es única, evidentemente bidimensional y es compartida entre ellos, por lo cual la densidad de carga superficial en ella es igual a la suma de las densidades de carga superficial inducida en cada dieléctrico.

        Haz clic en la imagen para ampliar

Nombre:	Sin título 1.jpg
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Tamaño:	32,3 KB
ID:	301746
        Por lo cual:





        Escrito por Pepealej Ver mensaje
        Que da un último apartado: . Obviamente es 0, dado que no se genera ninguna carga en r=2b pero, ¿cómo lo desmuestro por fórmulas?
        En r=2b no hay carga superficial, pero puede haber densidad volumetrica, ojo!

        No se si hay una forma matemática para demostrarlo, pero por la definición de densidad de carga superficial debe existir una superficie para su existencia, y si existe esta superficie dentro de un mismo material, las densidades de carga superficiales inducidas en cada trozo de dieléctrico (en la superficie en cuestión) serán iguales y de signo contrario.
        Ahora se me ocurrió algo, que creo que es valido.
        Supongamos que tenes dos dieléctricos iguales que tienen una superficie de interface en común, la densidad de carga en dicha superficie sera:



        donde:

        y

        y resulta que:



        Por tratarse del mismo material, ambos dieléctricos con idéntica permitividad y los vectores polarización evaluados en el mismo punto resulta que: , y los versores, que son normales a la misma superficie, cumplen que: , por lo cual:



        Creo que con esto queda demostrado.
        Espero no haberme equivocado.

        Suerte
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