1r ciclo Signo de energía potencial eléctrica

[leo_ro]

En wikipedia se define la energía potencial eléctrica como

[FONT=sans-serif]Para una carga puntual [/FONT]q en presencia de un campo eléctrico E producido por otra carga puntual Q, la energía potencial eléctrica se define como el opuesto del trabajo hecho por un hipotético agente externo para llevar la carga desde la posición de referencia r_ref hasta la posición r

${U}_{ref}-{U}_{r}= - {\int}_{ref}^{r} \vec{F}d\vec{s}= -q {\int}_{ref}^{r} \vec{E}d\vec{s}$

en donde $\vec{F}$ es la fuerza externa, que es opuesta a la fuerza eléctrica, es decir, a $q\vec{E}$. Entonces si

$\vec{F}=-q\vec{E}$

no tendrían que ser positivo el signo del miembro $q {\int}_{ref}^{r} \vec{E}d\vec{s}$ en vez de $-q {\int}_{ref}^{r} \vec{E}d\vec{s}$

porque si $\vec{F}=-q\vec{E}$

entonces
$- {\int}_{ref}^{r} \vec{F}d\vec{s} \neq -q {\int}_{ref}^{r} \vec{E}d\vec{s}$

y lo correcto sería

$- {\int}_{ref}^{r} \vec{F}d\vec{s} = q {\int}_{ref}^{r} \vec{E}d\vec{s}$

¿alguien me podría ayudar con esta confusión de signos?

saludos.

[arivasm]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

no tendrían que ser positivo el signo del miembro $q {\int}_{ref}^{r} \vec{E}d\vec{s}$ en vez de $-q {\int}_{ref}^{r} \vec{E}d\vec{s}$

porque si $\vec{F}=-q\vec{E}$

entonces
$- {\int}_{ref}^{r} \vec{F}d\vec{s} \neq -q {\int}_{ref}^{r} \vec{E}d\vec{s}$

y lo correcto sería

$- {\int}_{ref}^{r} \vec{F}d\vec{s} = q {\int}_{ref}^{r} \vec{E}d\vec{s}$

No. Lo que pone Wikipedia, aunque innecesario, es correcto. La mejor definición de energía potencial eléctrica es la que recurre a la propia fuerza de Coulomb: trabajo que ésta realiza al llevar al sistema desde la situación en cuestión hasta la que se tome como referencia.

Fíjate que el desde y el hasta son los opuestos de la definición wikipediana, lo que justifica ese signo menos.

Quizá entiendas mejor la definición que pongo si piensas, por ejemplo, en el famoso mgh: es lo que trabaja el peso de un cuerpo de masa m cuando es llevado desde donde esté hasta el nivel de referencia h=0.

[leo_ro]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

No. Lo que pone Wikipedia, aunque innecesario, es correcto. La mejor definición de energía potencial eléctrica es la que recurre a la propia fuerza de Coulomb: trabajo que ésta realiza al llevar al sistema desde la situación en cuestión hasta la que se tome como referencia.

A ver si entendí. La variación de energía potencial es el trabajo de la fuerza externa en llevar a la carga desde el punto de referencia $ref$ hasta el punto final$r$. Ese trabajo es igual al trabajo de la fuerza eléctrica en llevar la carga desde el punto final $r$ hasta el punto de referencia $ref$; y eso es igual al negativo del trabajo de la fuerza eléctrica en llevar la carga desde el punto de referencia $ref$ hasta el punto final $r$

Expresado matemáticamente sería:

$\Delta U={U}_{r}-{U}_{ref}={\int}_{ref}^{r} {\vec{F}}_{ext} d\vec{r}$

entonces

$q{\int}_{r}^{ref} \vec{E}d\vec{r}={U}_{ref}-{U}_{r}= - \Delta U$

así que

$\Delta U={U}_{r}-{U}_{ref}= -q{\int}_{ref}^{r} \vec{E}d\vec{r}$

Pero en lo que puse hay algo que no me cierra. ¿es correcto? porque si $- \Delta U = q{\int}_{r}^{ref} \vec{E}d\vec{r}$

entonces ¿$\Delta U$ no tendría que ser igual a $- q{\int}_{r}^{ref} \vec{E}d\vec{r}$ en vez de $-q{\int}_{ref}^{r} \vec{E}d\vec{r}$ ?

saludos

[john500]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

Que no la definicion que dices (Arivasm) es del potencial electrico?

[arivasm]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

La variación de energía potencial es el trabajo de la fuerza externa en llevar a la carga desde el punto de referencia $ref$ hasta el punto final$r$.

Correcto. Sólo cabe matizar que se trata de tomar la carga en reposo en "ref" y dejarla en reposo en "r".

Ese trabajo es igual al trabajo de la fuerza eléctrica en llevar la carga desde el punto final $r$ hasta el punto de referencia $ref$; y eso es igual al negativo del trabajo de la fuerza eléctrica en llevar la carga desde el punto de referencia $ref$ hasta el punto final $r$

Correcto

Expresado matemáticamente sería:

$\Delta U={U}_{r}-{U}_{ref}={\int}_{ref}^{r} {\vec{F}}_{ext} d\vec{r}$

Correcto, pero con una matización: a la situación de referencia le asignamos energía potencial nula, de manera que $U_{ref}=0$. Por tanto, permíteme que escriba esa expresión de esta manera:

$$U_r=\int_{ref}^r\vec F_{ext}\cdot\dd\vec r$$

entonces

$q{\int}_{r}^{ref} \vec{E}d\vec{r}={U}_{ref}-{U}_{r}= - \Delta U$

Esta es incorrecta: el trabajo que realiza la fuerza de Coulomb para ir desde "r" hasta "ref" es la energía potencial que corresponde a "r"

$$q\int_r^{ref}\vec E\cdot\dd\vec r=U_r$$

El error que cometes es que al intercambiar los límites de integración debes poner un signo menos a la integral. Por otra parte ten en cuenta que $\vec F_{ext}=-q\vec E$. Por tanto, tu lado derecho debió haber sido $q{\int}_{r}^{ref} \vec{E}d\vec{r}=-q{\int}_{ref}^{r} \vec{E}d\vec{r}={\int}_{ref}^{r} \vec{F_{ext}}d\vec{r}=U_r-{U}_{ref}= \Delta U$

así que

$\Delta U={U}_{r}-{U}_{ref}= -q{\int}_{ref}^{r} \vec{E}d\vec{r}$

Esta vuelve a ser correcta (seguramente por volver a cometer el error anterior). Ya puestos, mejor la escribimos así:

$$U_r=-\int_{ref}^r q\vec E\cdot\dd\vec r$$

que, como ves, es (1) sin más que hacer $\vec F_{ext}=-q\vec E$

Que no la definicion que dices (Arivasm) es del potencial electrico?

No. La definición de potencial eléctrico es parecida, pero no idéntica: hay que cambiar trabajo (circulación) de la fuerza de Coulomb por circulación de la intensidad del campo eléctrico. Es decir, donde antes se dice qE para el potencial hay que decir sólo E.

[leo_ro]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

Muchas gracias arivasm por tu respuesta, por fín pude entender el porqué del menos. Pero disculpen mi insistencia pero tengo 2 dudas más, no sé porque estos signos me complican.

Pero que ese signo menos delante de la integral se cancele con el menos que resulta de integrar $\int {r}^{-2}dr$ ¿es pura coincidencia o se planteó para que fuera así? A mi parecer es pura coincidencia pero quizás por eso se define el trabajo de la fuerza externa, de manera que el trabajo de la fuerza eléctrica sea el negativo, de esa manera el resultado de la integración es positivo.

ya que

$- \frac{1}{4\pi {\epsilon}_{0}} qQ \int \frac{1}{{r}^{2}} dr = \frac{1}{4\pi {\epsilon}_{0}} qQ \frac{1}{{r}^{1}}$

Y la otra duda que tengo es que no entiendo porque la energía potencial eléctrica para cargas de signos opuestos es negativa. ¿solamente es así por los signos de la ecuación?¿o tiene algún significado o relación física?

saludos.

[Al2000]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

Una energía potencial positiva implica que las cargas que forman el sistema tienden a separarse; lo opuesto en el caso de una energía potencial negativa. Fíjate que lo mismo ocurre en el caso gravitacional, donde la energía potencial de cualquier colección de cuerpos es siempre negativa.

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

Pero que ese signo menos delante de la integral se cancele con el menos que resulta de integrar $\int {r}^{-2}dr$ ¿es pura coincidencia o se planteó para que fuera así?

Y yo añadiría que no conviene mezclar el concepto general con casos particulares, como es el de las dos cargas puntuales, que menciona Leo cuando habla de 1/r^2, etc. Es decir, mi consejo es reflexionar sobre el concepto de energía potencial *de una fuerza conservativa cualquiera*. Y una vez que se tiene claro pasar a los casos específicos.

La respuesta a la pregunta de por qué el signo menos, que es lo mismo que preguntarse por qué trabajo de la fuerza conservativa evaluado desde la posición de cálculo hasta la de referencia, no tiene nada que ver con la ley de Coulomb, o la de gravitación universal o la de Hooke, por mencionar tres fuerzas conservativas para las cuales la definición de energía potencial es exactamente la misma (y sin necesidad alguna de meter una fuerza externa que se oponga a ellas). La causa de dicha definición es para que se cumpla que, en ausencia de fuerzas no conservativas que realicen trabajo, sea la suma de energía cinética y potencial la que se mantenga constante.

Si se hubiese definido la energía potencial con el orden al revés (o, si se prefiere, sin ese signo menos) la conservación de la energía mecánica diría algo más incómodo: se conservaría la resta entre la energía cinética y la potencial (con esa nueva definición). Pero el precio sería gigantesco: no podríamos interpretar los fenómenos físicos como transferencias de energía.

Si yo digo que 23+7=20+10, puedo imaginar que 3 unidades procedentes del 23 fueron transferidas al 7. Si la ley fuese de la forma 15-9=10-4, ¿qué lectura podría hacer del proceso? Aunque sí se puede hacer, no es tan sencilla como la anterior.

[leo_ro]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

Muchas gracias a ambos por su respuesta. Me queda claro que para fuerzas atractivas la energía potencial es negativa y para fuerzas repulsivas la energía potencial es positiva. Pero mi confusión viene porque entiendo a la energía potencial como la capacidad de producir un trabajo (que actúe una fuerza a lo largo de una distancia) que tiene un cuerpo o sistema físico según su posición con respecto a un sistema de referencia. Que sea positiva la energía potencial quiere decir tiene esa capacidad para producir trabajo pero que sea negativa quiere decir todo lo contrario, si una energía potencial igual a cero quiere decir que no tiene capacidad para producir trabajo, ni me imagino una energía potencial negativa.

La siguiente frase me deja con inquietud, la imposibilidad de interpretar los fenómenos físicos como transferencia de energía

Si se hubiese definido la energía potencial con el orden al revés (o, si se prefiere, sin ese signo menos) la conservación de la energía mecánica diría algo más incómodo: se conservaría la resta entre la energía cinética y la potencial (con esa nueva definición). Pero el precio sería gigantesco: no podríamos interpretar los fenómenos físicos como transferencias de energía.

saludos.

[arivasm]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

para fuerzas atractivas la energía potencial es negativa y para fuerzas repulsivas la energía potencial es positiva

No es correcto. El que sea positiva o negativa depende esencialmente de cuál sea la referencia elegida. Lo que distingue la energía potencial de una fuerza atractiva de la de una fuerza repulsiva es que mientras que la primera aumenta con la distancia entre partículas, la de la repulsiva disminuye.

mi confusión viene porque entiendo a la energía potencial como la capacidad de producir un trabajo

Eso no debería ser fuente de confusión. Por supuesto que la energía potencial es una capacidad para realizar trabajo:

$$W=U_{inic}-U_{fin}$$

Si la fuerza realiza trabajo es porque disminuye su energía potencial, lo que nos permite visualizar ésta como una reserva de trabajo.

Que sea positiva la energía potencial quiere decir tiene esa capacidad para producir trabajo pero que sea negativa quiere decir todo lo contrario, si una energía potencial igual a cero quiere decir que no tiene capacidad para producir trabajo,

Como dije antes, eso no es así. Piensa en el tradicional $U=mgh$. Si m está por encima del nivel h=0 entonces U>0. Si está por debajo entonces U<0. Pero esto último no significa que el peso no pueda realizar trabajo. Sitúa h=0 en el techo de la habitación. Al peso de un libro sobre una mesa le corresponderá una energía potencial gravitatoria negativa, por ejemplo -20 J. Si el libro está en el suelo le corresponde una aún más negativa, tal como -28 J, El peso puede realizar un trabajo: si el libro cae de la mesa al suelo, el peso trabaja -20 J-(-28 J) = 8 J.

La siguiente frase me deja con inquietud, la imposibilidad de interpretar los fenómenos físicos como transferencia de energía

Eso quiere decir que no me he explicado bien. Quería decir que si se hubiese definido la energía potencial al revés de (1), es decir, de manera que $W=U_{fin}-U_{ini}$, la energía mecánica no se definiría como E=K+U, sino que habría que definirla como E=K-U (es fácil de entender, esta nueva U es la opuesta de la que usamos en Física), lo que nos impediría pensar en transferencias de K a U y viceversa.

[leo_ro]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

Pero ¿(1) no está en contradicción con lo que hemos dicho anteriormente?

si ${U}_{f}-{U}_{i}={\int}_{i}^{f} {\vec{F}}_{ext}d\vec{r}= {W}_{if}$

[arivasm]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

Te estás liando por definir la energía potencial a través de una fuerza externa (innecesaria, insisto!) en lugar de la propia fuerza conservativa. En (1) hablo del trabajo realizado por la propia fuerza conservativa para la que se define la energía potencial. La expresión que pones se justificaría si metemos en danza (repito, aún a fuerza de ser pesado, sin la más mínima necesidad!) una fuerza externa tal que $\vec F_{ext}=- \vec F_{cons}$.

[leo_ro]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

Ahora entendí. El trabajo de la fuerza conservativa es

${U}_{i}-{U}_{f} = q {\int}_{f}^{i} \vec{E}d\vec{r}$

(no sé si están bien los límites de integración en la ecuación anterior)

Y eso sería porque la energía potencial eléctrica es la capacidad de producir trabajo de la fuerza eléctrica, entonces la energía potencial inicial es mayor a la energía potencial final.
Pero como la variación está dada como

${U}_{f}-{U}_{i}$

entonces

${U}_{f}-{U}_{i} = - q {\int}_{f}^{i} \vec{E}d\vec{r}$

Para el caso de los signos, se podría decir que es por simple convención.

¿es correcto?

[arivasm]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

Tienes mal los límites de integración. La primera integral debe ser [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . En la segunda también debes intercambiarlos.

Veo que casi lo tienes. Piensa en la idea: la energía potencial es el trabajo que realiza la fuerza conservativa al llevar el sistema hasta la situación de referencia: $U_P=W_{P\to R}$.

Si quieres manejar cambios de energía potencial, por ejemplo al ir de una situación A hasta otra B, haz el viaje pasando por R (recuerda que con fuerzas conservativas en el cálculo del trabajo no importa la trayectoria seguida, sólo el principio y el final): $W_{A\to B}=W_{A\to R}+W_{R\to B}=U_A+(-U_B)=U_A-U_B$.

Por tanto, el trabajo realizado por la fuerza conservativa es U inicial menos U final. Para la fuerza de Coulomb $\int_i^f q \vec E\cdot\dd\vec r=U_i-U_f$

[leo_ro]

Re: Signo de energía potencial eléctrica

La verdad que este tema me tiene lidiado. A ver, calculé el trabajo de la fuerza eléctrica en llevar la carga desde un punto $r$ hasta el de referencia ${r}_{\infty}$.

Para cargas de un mismo signo obtuve ${W}_{r \to {r}_{\infty}}={U}_{i}-{U}_{f}$

y para cargas de signo contrario ${W}_{r \to {r}_{\infty}}={U}_{f}-{U}_{i}$

como ${U}_{f}$ es la posición de referencia y es en el infinito ${U}_{f}=0$

Por lo que para cargas de mismo signo ${W}_{r \to {r}_{\infty}}={U}_{i}$

y para cargas de signo contrario ${W}_{r \to {r}_{\infty}}= - {U}_{i}$

Otra cosa, con lo puesto anteriormente

Como dije antes, eso no es así. Piensa en el tradicional U=mgh. Si m está por encima del nivel h=0 entonces U>0. Si está por debajo entonces U<0. Pero esto último no significa que el peso no pueda realizar trabajo. Sitúa h=0 en el techo de la habitación. Al peso de un libro sobre una mesa le corresponderá una energía potencial gravitatoria negativa, por ejemplo -20 J. Si el libro está en el suelo le corresponde una aún más negativa, tal como -28 J, El peso puede realizar un trabajo: si el libro cae de la mesa al suelo, el peso trabaja -20 J-(-28 J) = 8 J.

¿Pero la energía potencial gravitatoria no es negativa?

$Ep=- \frac{ G mM}{r}$

entonces si está por ensima del nivel h=0, le correspondería una energía potencial negativa y si está por debajo de h=0 le correspondería una energía potencial positiva