1r ciclo Calculo de campo eléctrico en línea

[leo_ro]

Tengo que calcular la expresión del campo eléctrica para una linea cargada infinita.



$dE=\frac{1}{4 \pi \varepsilon } \frac{\lambda d y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} }$

Como por simetría la componente ${E}_{y}=0$

entonces

$d{E}_{x}=dE \cos theta = \frac{1}{4 \pi \varepsilon } \frac{\lambda d y}{({x}^{2}+{y}^{2}) } \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} }$

$E=\frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon } \int \frac{dy}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{3/2} }$

$E= \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon x \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$

Pero en todos los textos está como $E=\frac{\lambda}{ 2 \pi \varepsilon x}$

¿Por qué no llego a dicha expresión?

saludos.

[arivasm]

Re: Calculo de campo eléctrico en línea

Está claro que no estás haciendo bien las cosas, pues te aparece una $y$ en la expresión final, a pesar de que se supone que estás integrando respecto de $y$. De todos modos, lo más cómodo es usar como variable de integración $\theta$, en vez de $y$.

Por último, ¿es obligado que encuentres la respuesta por integración? Lo más sencillo, con muchísimo es usar el teorema de Gauss, usando como gaussiana un cilindro de longitud $L$ y radio $x$ concéntrico con la línea cargada: $E2\pi x L=L \lambda/\epsilon_0$.

[leo_ro]

Re: Calculo de campo eléctrico en línea

Claro, si es mucho más fácil. ¿Cualquier tipo de configuración es posible calcular el campo eléctrico por gauss?

Así por ejemplo, el campo eléctrico en un punto p que está a una altura ${z}_{0}$ en el medio de un disco circular de radio $R$, con una densidad de carga superficial $\sigma$

$E(4 \pi {R}^{2})= \frac{\sigma \pi {R}^{2}}{\varepsilon } \Rightarrow E= \frac{q}{\varepsilon 4 \pi {R}^{2}}$

Pero la expresión que sería correcta para esa configuración es $E=\frac{\sigma z}{2 \varepsilon }(1- \frac{1}{ \sqrt{{R}^{2}+{z}^{2}}})$

[arivasm]

Re: Calculo de campo eléctrico en línea

Claro, si es mucho más fácil. ¿Cualquier tipo de configuración es posible calcular el campo eléctrico por gauss?

Lamentablemente no. En la práctica sólo es utilizable si el sistema de carga posee alguna simetría, y no siempre eso garantiza poder encontrar una gaussiana adecuada.

Así por ejemplo, el campo eléctrico en un punto p que está a una altura ${z}_{0}$ en el medio de un disco circular de radio $R$, con una densidad de carga superficial $\sigma$

$E(4 \pi {R}^{2})= \frac{\sigma \pi {R}^{2}}{\varepsilon } \Rightarrow E= \frac{q}{\varepsilon 4 \pi {R}^{2}}$

Pero la expresión que sería correcta para esa configuración es $E=\frac{\sigma z}{2 \varepsilon }(1- \frac{1}{ \sqrt{{R}^{2}+{z}^{2}}})$

Antes de nada: la expresión final que pones es claramente errónea, pues es incorrecta dimensionalmente, como se puede ver fácilmente en el paréntesis (el 1 es adimensional mientras que el término que resta tiene dimensiones de inverso de longitud).

Éste es un ejemplo de lo que acabo de decir: el sistema de carga tiene una simetría axial y también el plano que lo contiene. Aunque está claro que la gaussiana que manejemos deberá tener esa misma simetría, para que sea útil convendría que en ella el campo tuviese módulo constante y fuese perpendicular a la misma; el problema está en que a priori no tenemos ni idea de qué forma deberá tener dicha superficie.

Por tanto, no queda más remedio que hacerlo por pura superposición: descomponer el disco en elementos de carga e integrar.

Sin embargo, en este caso es especialmente fácil, gracias a la posición que ocupa el punto de cálculo. Así, podemos descomponerlo en anillos de radio $r$ y grosor $\dd r$. Es muy sencillo ver que el campo que origina cada uno es igual a la suma de las componentes según el eje del anillo, de manera que

$\dst \dd E=k\frac{\dd q}{r^2+z_0^2}\cos\theta=k\frac{z_0 2\pi r\sigma \dd r}{(r^2+z_0^2)^{3/2}}$

donde he llamado $\theta$ al ángulo del cono con vértice en el punto de cálculo y que pasa por el círculo de radio $r$

Como todos estos campos son paralelos el campo resultante tendrá por módulo la suma de los módulos

$\dst E=\int_{r=0}^{r=R}\dd E=2\pi k z_0\sigma \int_0^R \frac{r \dd r}{(r^2+z_0^2)^{3/2}}=\frac{\sigma z_0}{2\epsilon_0}\left[-\frac{1}{\sqrt{r^2+z_0^2}}\right]_0^R$

Aplicando la regla de Barrow tenemos

$\dst E=\frac{\sigma z_0}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{z_0}-\frac{1}{\sqrt{R^2+z_0^2}}\right)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{z_0}{\sqrt{R^2+z_0^2}}\right)$