Secundaria Curioso logaritmo

[Turing]

Hola! Ayer indagué un poco con los logaritmos y salió esto:

Supongamos la serie logarítmica $\dst log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - ...$, que es convergente en tanto que $\dst x = \left[-1, 1\right]$

Si utilizamos x=1

$\dst log 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - ...$

duplicándolo:

$\dst 2 log 2 = 2 - \frac{2}{2} + \frac{2}{3} - \frac{2}{4} + \frac{2}{5} - \frac{2}{6} + \frac{2}{7} - \frac{2}{8} + \frac{2}{9} - ...$

$\dst 2 log2 =2 - 1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{5} - \frac{1}{3} + \frac{2}{7} - \frac{1}{4} + \frac{2}{9} - ...$

si ahora juntamos los pares de términos con el mismo denominador:

$\dst 2log2= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - ... = log 2$

por lo tanto $\dst 2 log2 = log 2$, es decir, $\dst 2 = 1$

Un saludo!

PD: El error supongo que está en considerar la serie logarítmica absolutamente convergente y por ende, en realidad, no se puede reordenar. ¡Pero aún así me pareció curioso!

[arivasm]

Re: Curioso logaritmo

Es muy evidente que el problema está en el radio de convergencia: no es cierto que sea 1. Basta con observar que $\ln (1-1)=\ln 0$.