1r ciclo Lámina infinita con espesor y densidad volumétrica de carga.

[gdonoso94]

Hola, tengo el siguiente ejercicio que no sé muy bien cómo resolver:

Se tiene una lámina infinita de espesor 2d con una densidad de carga volumétrica $\rho$. Se pide:

a) El campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
b) El potencial eléctrico en todos los puntos del espacio. Tómese como origen de potenciales el origen del eje de coordenads que coincide justo con el centro de la lámina (dejando la distancia d hacia cada lado).

¿Alguien sabe cómo se resuelve?

Gracias.

[hassan]

Re: Lámina infinita con espesor y densidad volumétrica de carga.

Así a lo loco, sin pensarlo, se me ocurriría hacerlo por Gauss, el hecho que la lámina sea infinita facilita muchísimo los cálculos.

[gdonoso94]

Re: Lámina infinita con espesor y densidad volumétrica de carga.

Pero cómo aplicas gauss en el interior de la lámina? ¿Y en el exterior consideras carga superficial?

Saludos

[angel relativamente]

Re: Lámina infinita con espesor y densidad volumétrica de carga.

Tampoco lo he pensado mucho, pero para el campo eléctrico lo veo fácil si se manejan cilindros. Cortamos con un plano la lámina por el centro (llamaré z=0), quedando un trozo de lámina por arriba (con límite z=d) y otro por abajo (z=-d). Vamos a calcular el campo para z>0, porque se aprecia fácilmente que para z<0 solo hay que cambiar el signo. Para el campo dentro tomamos un cilindro de radio $r$ que tenga la base inferior apoyada sobre el plano z=0 y una altura $z<d$. Tenemos que el campo sobre la base inferior es nulo, como lo es también para las paredes laterales, por lo que solo habrá campo sobre la cara superior (de superficie $\pi r^2$ ) y por aplicación del Tma de Gauss:

$$E\cdot S = E \pi r^2 = \dfrac{Q_i}{\epsilon_0}=\dfrac{\rho V}{\epsilon_0} = \dfrac{\pi \rho r^2 z }{\epsilon_0} \Rightarrow \vec{E}=\dfrac{\rho z}{\epsilon_0} \hat{k}$$

Para el campo externo tomamos un cilindro exactamente igual, de altura $z>d$. La particularidad es que la carga interior no está sobre todo el cilindro, sino solo sobre la intersección con la placa (cilindro de altura $d$). Por tanto el campo ahora será:

$$\vec E=\dfrac{\rho d}{\epsilon_0} \hat k$$

Que curiosamente es constante fuera de la placa (no es un resultado demasiado sorprendente teniendo en cuenta que se cumple exactamente la misma relación para una lámina delgada con su respectiva densidad superficial). En general, el campo en cualquier punto del espacio sería:

$$\vec E = \dfrac{\rho z}{\epsilon_0} \hat k$$

si $\left\vert{} z\right\vert{} < d$

$$\vec E = \dfrac{\rho d z}{\epsilon_0 \left\vert{} z\right\vert{}} \hat k$$

si $\left\vert{} z\right\vert{}>d$


Para el potencial, supongo que ya es simple integrar a pelo conocido el campo eléctrico.


Saludos

[gdonoso94]

Re: Lámina infinita con espesor y densidad volumétrica de carga.

A ver voy a modificar el post entero:

Haciendo yo el ejercicio por mi cuenta obtengo que para el interior de la lámina el campo eléctrico es:

$\dst E=\frac{\rho d}{\varepsilon_0}$

Siendo d la distancia al centro de la lámina, sin salir de esta (prescino del carácter vectorial para ahorrar tiempo y pongo el 2 en el denominador porque solo tengo en cuenta una tapa del cilindro).

Ahora bien, en el exterior de la lámina tendría un cilindro desde el medio de la lámina hasta una altura superior a d.

Aplicando el teorema de Gauss:

$\dst E\pi r^2=\frac{\rho \pi r^2 d'}{\varepsilon_0}$

Donde d' es la distancia al centro de la lámina. Ahora, pues, el campo me queda:

$\dst E=\frac{\rho d'}{\varepsilon_0}=\frac{\rho (d+z)}{\varepsilon_0}$

¿Dónde está mi error?

Saludos!

[Al2000]

Re: Lámina infinita con espesor y densidad volumétrica de carga.

$\dst \hat n = \frac z {|z|} \hat k = \mathrm {sgn} (z)\, \hat k$ es el vector unitario normal a la lámina. Nota que $\hat n = \hat k,\, z > 0$ y $\hat n = - \hat k,\, z < 0$. Creo que esto también responde tu segunda pregunta.

Saludos,

Al

[gdonoso94]

Re: Lámina infinita con espesor y densidad volumétrica de carga.

Mil gracias Al, pero justo he modificado el post. ¿Lo que he escrito ahora está bien?

[angel relativamente]

Re: Lámina infinita con espesor y densidad volumétrica de carga.

En primer lugar, no entiendo el 2 del denominador de tu primera fórmula. Si la tapa inferior del cilindro la pones en z=0, tal como indico en mi post, solo hay campo sobre la de arriba y no veo que aparezca el 2. Respecto a la siguiente relación $\dst E\pi r^2=\frac{\rho \pi r^2 d'}{2\varepsilon_0}$, me sigue sin cuadrar el 2 del denominador. Pero el fallo importante está en tu consideración de V. La carga interior es $Q_i=\rho V_{quecontienecarga}$, y el cilindro que tu pones no contiene carga en todo su volumen. Como el cilindro gaussiano sale de la lámina, solo has de considerar un cilindro de volumen $V=\pi r^2 d$.

Un saludo

[gdonoso94]

Re: Lámina infinita con espesor y densidad volumétrica de carga.

Bueno, el 2 lo he puesto porque solo considero una mitad, es decir, sólo sale hacia un lado, por ello aparece el 2, ¿no?

En cuanto a lo otro, vale, ya he visto el fallo. Pero sigue sin cuadrarme, ¿en cualquier punto de el exterior de la lámina el campo es el mismo que en la superficie de esta? No encuentro la explicación física.

Saludos

EDITO:

Vale, acabo de ver la estupidez que he hecho poniendo el 2. Modifico el post de arriba .

[angel relativamente]

Re: Lámina infinita con espesor y densidad volumétrica de carga.

En cuanto a lo otro, vale, ya he visto el fallo. Pero sigue sin cuadrarme, ¿en cualquier punto de el exterior de la lámina el campo es el mismo que en la superficie de esta? No encuentro la explicación física.

Bueno, si lo que buscas es autoconvencerte con la intuición, míralo del siguiente modo: Cuando estás muy cerca de la superficie, solo crean campo eléctrico un trocito de placa cercano al punto a considerar, ya que los que están lejos sus contribuciones son prácticamente sobre el plano xy y por tanto se anulan. Conforme aumentas z (te alejas en altura de la placa), disminuye la intensidad del campo que creaba el trozo de placa cercana al punto, pero aumenta el tamaño de dicho trozo, pues al estar más alto cada vez hay más componente en el eje z. Cuando estás muy muy lejos, el campo de cada diferencial de placa es muy pequeño pero toda la placa contribuye a una componente en el eje z.

Un saludo

[gdonoso94]

Re: Lámina infinita con espesor y densidad volumétrica de carga.

Perfecta explicación. Gracias.