1r ciclo Radio de curvatura del espacial del Universo

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Hola a todos,

Repasando un curso de cosmología de Susskind, hablaba del parámetro $k$ que define la curvatura espacial del Universo. Para definir un modelo con curvatura se usa el radio $T$ tanto para la curvatura esférica como la hiperbólica. El caso es que alguien preguntó: "¿Es ésta $T$ la dimensión temporal?" a lo que Susskind responde: "No necesariamente", pero no dio más explicaciones.

¿Entonces, hacia dónde se extiende ésa hipotética $T$ si no es en el tiempo? Claro que la Relatividad Especial ya es un modelo para un espacio-tiempo hiperbólico, ¿pero en un modelo con curvatura espacial, se puede usar la coordenada temporal o hace falta otra dimensión espacial para ésa $T$?

Gracias.

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Re: Radio de curvatura del espacial del Universo

Hola a todos,

Repasando un curso de cosmología de Susskind, hablaba del parámetro $k$ que define la curvatura espacial del Universo. Para definir un modelo con curvatura se usa el radio $T$ tanto para la curvatura esférica como la hiperbólica. El caso es que alguien preguntó: "¿Es ésta $T$ la dimensión temporal?" a lo que Susskind responde: "No necesariamente", pero no dio más explicaciones.

No sé exactamente que construcción está haciendo Susskind. ¿Se trata de definir la variedad a través de un embedding en una dimensión más y luego reducir? (igual que la esfera $S^2$ se puede definir como un embedding en $\mathcal{R}^2$).

Claro que la Relatividad Especial ya es un modelo para un espacio-tiempo hiperbólico,

¿Ah sí? Y yo que creía que el espacio de Minkowsky era plano...

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Re: Radio de curvatura del espacial del Universo

No sé exactamente que construcción está haciendo Susskind. ¿Se trata de definir la variedad a través de un embedding en una dimensión más y luego reducir? (igual que la esfera $S^2$ se puede definir como un embedding en $\mathcal{R}^2$).

Supongo que debe ser esto ya que al fin y al cabo lo "mete" sin considerar otras dimensiones. ¿Entonces hacia dónde se curva el espacio? ¿Se puede curvar el espacio sin que el radio de curvatura "ocupe" ningún espacio de dimensión superior?

¿Ah sí? Y yo que creía que el espacio de Minkowsky era plano...

Jeje, ya. No lo he dicho correctamente. Me refiero que es un espacio plano con una $\tau$ que "curva" el espacio-tiempo (no solo el espacio) de manera hiperbólica, cuando $\tau$ se "inclina". Quiero decir que el modelo con esa $T$ en un espacio hiperbólico es $T^2-x^2-y^2-z^2=1$. Aunque estamos hablando estrictamente de distancias, es una métrica hiperbólica como la de Minkowsky. De aquí que haya la confusión de si esa $T$ es una coordenada temporal o no. Yo entiendo que no tiene nada que ver, pero la respuesta de Susskind lo deja al aire (también es posible que me haya perdido algún comentario por mi bajo nivel de inglés ). La demostración está hacia la mitad del vídeo (a partir del min. 50 aprox).

http://www.youtube.com/watch?v=nJlWY...F9GSwLsx7p1xtm

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Re: Radio de curvatura del espacial del Universo

Supongo que debe ser esto ya que al fin y al cabo lo "mete" sin considerar otras dimensiones. ¿Entonces hacia dónde se curva el espacio? ¿Se puede curvar el espacio sin que el radio de curvatura "ocupe" ningún espacio de dimensión superior?

Sí.

Este es un caso más de prejuicio humano. Nosotros estamos acostumbrados al mundo tridimensional, y vemos la curvatura de superficies de dos dimensiones que están inmersas en esas tres dimensiones. La esfera es el ejemplo más paradigmático, también el hiperboloide de revolución que muestra Susskind. En este caso, cuando la curvatura de una sub-variedad aparece por estar metida dentro de otra de una forma particular, decimos que tenemos curvatura extrínseca.

Esa T no es un radio de curvatura. Es una coordenada del espacio de dimensión superior. Puede ser una coordenada de tipo tiempo, o no, según la métrica que tenga ese espacio.

Jeje, ya. No lo he dicho correctamente. Me refiero que es un espacio plano con una $\tau$ que "curva" el espacio-tiempo (no solo el espacio) de manera hiperbólica, cuando $\tau$ se "inclina". Quiero decir que el modelo con esa $T$ en un espacio hiperbólico es $T^2-x^2-y^2-z^2=1$. Aunque estamos hablando estrictamente de distancias, es una métrica hiperbólica como la de Minkowsky. De aquí que haya la confusión de si esa $T$ es una coordenada temporal o no. Yo entiendo que no tiene nada que ver, pero la respuesta de Susskind lo deja al aire (también es posible que me haya perdido algún comentario por mi bajo nivel de inglés ). La demostración está hacia la mitad del vídeo (a partir del min. 50 aprox).

Eso no es una métrica. Es una condición de "inmersión" (embedding). Hay un parecido estético con la métrica de Minkowski, pero eso es todo. Tienes un espacio tridimensional (T, x, y) e imponiendo una condición defines una sub-variedad (de dimensión 2, porque cada condición resta una dimensión) que tiene curvatura intrínseca. Si lo que estás definiendo es un universo, donde la Física ocurre en la subvariedad por decirlo así, lo que tienen significado físico son las coordenadas en la subvariedad. La variedad de dimensión superior no tiene significado Físico, es sólo un truco matemático que utilizamos para definir la variedad. No hay necesidad de hacerlo, ya que es perfectamente posible definir una variedad curvada intrínsecamente.

Cuando haces una inmersión (embedding), empiezas con una variedad en cierta dimensión, D. Luego, impones N condiciones que definen una subvariedad de dimensión D-N. La métrica que había en la variedad de dimensión superior induce una métrica en la subvariedad (lo que llaman hacer el "pull-back" de la métrica). La gracia del asunto es que la métrica original podía ser plana, y al reducirla a una sub-variedad te sale una métrica de dimensión inferior que puede no ser plana.

La gracia de todo esto es que los espacios máximamente simétricos (que normalmente se llaman de Sitter, plano y anti-de Sitter), todos ellos se pueden construir como inmersiones en un espacio plano de una dimensión más.

No obstante, repito, toda esta construcción no es imprescindible. No hay necesidad alguna de definir la curvatura a través de una inmersión. Que un espacio necesite curvarse hacia "alguna parte" es un prejuicio humano por que estamos acostumbrados a las 3 dimensiones.

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Re: Radio de curvatura del espacial del Universo

Gracias pod,

Entre que es un tema difícil y mi inglés no es muy bueno, siempre quedan cosas que no sé si no las he entendido bien tanto por el formulismo como por el idioma. Para mi es increíble que lo entienda, pero Susskind habla un inglés muy "comprensible", cosa que agradezco mucho.

Respecto al tema, me volví a mirar este vídeo y algún otro. Y junto a tu explicación, creo que lo he entendido mucho mejor. Ya veo que el radio de curvatura sería el "1" de la igualdad en lugar de la $T.$ Supongo que una manera de decir que $T$ no es una dimensión de la que "preocuparse", es que no tiene otras propiedades físicas que la de determinar las propiedades métricas del espacio y no necesita tener "extensión" hacia ningún lado. Se puede tratar como un simple y llano parámetro para la métrica.

Lo que no recuerdo haber oído es si el radio de curvatura puede tener dependencia temporal o no, ni si en algún modelo se puede considerar $T$ como una dimensión conocida o por conocer, ya sea el tiempo u otra. Aunque sospecho que preguntarse sobre ello puede ser como preguntarse qué hay en la parte del Radio Schwarzschild negativo .

Creo que parte de la confusión también viene de la (maldita) divulgación. Lo único que recuerdo haber oído más o menos serio, era un modelo (creo que era de Hawking) que decía que la expansión se podría explicar mediante un eje temporal imaginario curvado o un eje temporal complejo con su parte imaginaria curvada (no recuerdo cual de los dos). Aunque no tengo la más mínima idea de que significa esto y no creo que tenga nada que ver con la curvatura del espacio . Además me parece que es una idea ya vieja que seguramente está descartada.

De todas maneras tendré que mirar y re-mirar los vídeos más veces. Cada vez que vuelvo a mirar uno, me doy cuenta de que la vez anterior que lo vi, realmente no había entendido nada .

Saludos y gracias de nuevo.

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Re: Radio de curvatura del espacial del Universo

Lo que no recuerdo haber oído es si el radio de curvatura puede tener dependencia temporal o no, ni si en algún modelo se puede considerar $T$ como una dimensión conocida o por conocer, ya sea el tiempo u otra. Aunque sospecho que preguntarse sobre ello puede ser como preguntarse qué hay en la parte del Radio Schwarzschild negativo .

Una curvatura variable es básicamente la expansión del universo. Aunque no se suele hablar de "radio de curvatura" (porque eso es algo que sólo tiene sentido en la dimensión superior).

Lo que no recuerdo haber oído es si el radio de curvatura puede tener dependencia temporal o no, ni si en algún modelo se puede considerar $T$ como una dimensión conocida o por conocer, ya sea el tiempo u otra. Aunque sospecho que preguntarse sobre ello puede ser como preguntarse qué hay en la parte del Radio Schwarzschild negativo .

Un universo de Scwarzchild puede describirse en su totalidad, excepto en la singularidad.

Creo que parte de la confusión también viene de la (maldita) divulgación. Lo único que recuerdo haber oído más o menos serio, era un modelo (creo que era de Hawking) que decía que la expansión se podría explicar mediante un eje temporal imaginario curvado o un eje temporal complejo con su parte imaginaria curvada (no recuerdo cual de los dos). Aunque no tengo la más mínima idea de que significa esto y no creo que tenga nada que ver con la curvatura del espacio . Además me parece que es una idea ya vieja que seguramente está descartada.

Creo que recuerdo algo así por parte de Hawking. Creo que se refería a una rotación de Wick (el cambio $t \to i t$ para obtener una métrica con signo definido). Nada que ver con la reducción dimensional. No creo que debas preocuparte de eso ahora.