Divulgación Consulta sobre terminologia relativista.

[inakigarber]

[FONT=MinionPro-Regular][FONT=MinionPro-Regular]Buenas noches;
Leyendo un texto donde se comentan las similitudes y la única diferencia entre el espaciotiempo galileano y el de Minkowski me he encontrado la siguiente frase;

"¿En que se distingue el espacio-tiempo de Minkowski del espacio-tiempo deGalileo, la combinacion del tiempo y el espacio cotidianos? Ambos espacio-tiempos son variedades matematicas – es decir, conjuntos continuos de puntos – con una dimension temporal y tres espaciales, y ambas variedades tienen la topología de una esfera perforada."

Aunque creo que entiendo el tema, me ha llamado la atención esta frase ya que en ella se mencionan dos conceptos que no tengo claros. Por una parte el concepto de variedad y sobre todo el de la topología de una esfera perforada . Podríais aclarármelo de una forma sencilla y visual.
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Un saludo.
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Re: Consulta sobre terminologia relativista.

Galileo jamás en su vida supo lo que era un espacio-tiempo. Es un concepto que nació siglos después de su muerte. Ahora bien, después de que la relatividad utilizada el formalismo de la geometría diferencial (introduciendo el concepto de espacio-tiempo), se vio que también era posible utilizar un formulismo cuadridimensional para implementar la relatividad de Galileo. Yo en algún lugar creo que lo he visto llamado "espacio-tiempo neo-galileano", o algo similar. En cualquier caso, es un formulismo que no hace mucha falta físicamente, porque es totalmente equivalente a lo que todos aprendemos a hacer en la escuela, pero algo más tedioso matemáticamente. No obstante, es "bonito" que exista una implementación del grupo de galileo conceptualmente similar al grupo de Poincaré.

Una variedad es el concepto básico de la geometría diferencial. La definición matemática la puedes encontrar en la wikipedia (busca manifold en inglés). Esencialmente, es el conjunto de puntos que existen en el espacio, con la particularidad de que en el entorno de cada punto la variedad se aproxima mucho a un espacio euclideano (lo cual quiere decir básicamente que es derivable y todo eso). Por ejemplo, una variedad bidimensional es una superfície. Nuestro espacio-tiempo es una variedad de dimensiones, y la condición de que de que se aproxime a un espacio euclideo al rededor de cada punto significa que siempre podemos hacer un cambio de variables de forma que, localmente (si no miramos muy lejos), tenemos muy similar al espacio plano. Físicamente, esto nos dice que en cada punto los observadores en caída libre son equivalentes a los observadores inerciales de la relatividad especial.

Si la curvatura nos dice la estructura de distancias local, la topología nos da la estructura global de la variedad. Una variedad con topología esférica cumple lo mismo que una esfera: si caminas en cualquier dirección en línea recta siempre vuelves al mismo punto; además cualquier curva cerrada puede deformarse de forma contínua hasta colapsar en un punto. Por ejemplo, un huevo obviamente no es una esfera, pero tiene la misma topología. Otra topología importante es la toroidal, la misma que tiene un toro (un donut), donde también se vuelve al mismo punto si se avanza en línea recta en cualquier dirección, pero existen curvas cerradas que no se pueden deformar hasta formar un punto (si tienes una curva que se enrolla al rededor del agujero del "donut", por ejemplo).

Desconozco a qué se refiere el texto con la topología de una esfera perforada. Quizá se refiere a que es como una esfera donde uno de los puntos es inaccesible (la "perforación"); ese punto correspondería a la proyección esterográfica del infinito.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre terminologia relativista.

....Una variedad es el concepto básico de la geometría diferencial. La definición matemática la puedes encontrar en la wikipedia (busca manifold en inglés). Esencialmente, es el conjunto de puntos que existen en el espacio, con la particularidad de que en el entorno de cada punto la variedad se aproxima mucho a un espacio euclideano (lo cual quiere decir básicamente que es derivable y todo eso). Por ejemplo, una variedad bidimensional es una superfície. Nuestro espacio-tiempo es una variedad de dimensiones, y la condición de que de que se aproxime a un espacio euclideo al rededor de cada punto significa que siempre podemos hacer un cambio de variables de forma que, localmente (si no miramos muy lejos), tenemos muy similar al espacio plano. Físicamente, esto nos dice que en cada punto los observadores en caída libre son equivalentes a los observadores inerciales de la relatividad especial.

Si la curvatura nos dice la estructura de distancias local, la topología nos da la estructura global de la variedad. Una variedad con topología esférica cumple lo mismo que una esfera: si caminas en cualquier dirección en línea recta siempre vuelves al mismo punto; además cualquier curva cerrada puede deformarse de forma contínua hasta colapsar en un punto. Por ejemplo, un huevo obviamente no es una esfera, pero tiene la misma topología. Otra topología importante es la toroidal, la misma que tiene un toro (un donut), donde también se vuelve al mismo punto si se avanza en línea recta en cualquier dirección, pero existen curvas cerradas que no se pueden deformar hasta formar un punto (si tienes una curva que se enrolla al rededor del agujero del "donut", por ejemplo).
...

Supongamos que estamos paseando por el espacio de un campo de futbol. Partimos del punto central avanzando 100 pasos hacia el este (por ejemplo), después otros tantos hacia el norte y finalmente la misma cantidad de pasos hacia el este. Terminaremos a 100 pasos hacia el norte respecto del punto de partida.
Supongamos ahora que el campo cubre la superficie de la tierra y desplazamos no 100 pasos sino 100 millones de pasos primero hacia el este, después hacia el norte y finalmente hacia el oeste. Podemos acabar en cualquier parte ¡Incluso en el punto de partida!.
Esto se debe a que el espacio del campo de futbol el prácticamente un plano euclidiano. Entiendo que el plano del campo de futbol tiene una curvatura uniforme . La superficie de la tierra no. ¿Quiere decir esto que en el campo de futbol la variedad es nula y en la superficie terrestre no? Me imagino que los tiros van por ahí.

Por lo que respecta al termino "topología de esfera perforada", no lo entiendo pero no me preocupa.
Mas adelante el texto indica que la única diferencia entre el espaciotiempo de Minkowski y el galileano en que en el primero espacio y tiempo son magnitudes relativas a la velocidad de cada observador. Que es fundamentalmente una de las ideas básicas de la Relatividad Restringida.

Un saludo.

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Re: Consulta sobre terminologia relativista.

Supongamos que estamos paseando por el espacio de un campo de futbol. Partimos del punto central avanzando 100 pasos hacia el este (por ejemplo), después otros tantos hacia el norte y finalmente la misma cantidad de pasos hacia el este. Terminaremos a 100 pasos hacia el norte respecto del punto de partida.
Supongamos ahora que el campo cubre la superficie de la tierra y desplazamos no 100 pasos sino 100 millones de pasos primero hacia el este, después hacia el norte y finalmente hacia el oeste. Podemos acabar en cualquier parte ¡Incluso en el punto de partida!.
Esto se debe a que el espacio del campo de futbol el prácticamente un plano euclidiano. Entiendo que el plano del campo de futbol tiene una curvatura uniforme . La superficie de la tierra no. ¿Quiere decir esto que en el campo de futbol la variedad es nula y en la superficie terrestre no? Me imagino que los tiros van por ahí.

La variedad no es nula. No existen las variedades nulas.

Si a caso, la curvatura es nula. Las variedades planas (sin curvatura) son esencialmente equivalentes a espacios euclídeos.

El ejemplo que pones se reduce esencialmente a la construcción de triangulos sobre variedades. En un espacio plano, los tres ángulos del triángulo siempre suman $\pi$. Por lo tanto, como mucho sólo uno de ellos puede ser $\pi/2$. Luego, si construyes una figura con dos ángulos de $\pi/2$ (que es básicamente lo que estás haciendo) es imposible llegar a cerrar la figura con sólo tres lados (necesitarías un cuarto para hacer un cuadrado, pero no puedes hacer un triángulo plano con más de un ángulo recto).

Pues bien, en una variedad con curvatura positiva (como la esfera) resulta que los ángulos de un triángulo siempre suman más de $\pi$. E incluso es posible construir un triángulo donde los tres ángulos son rectos: empieza en la intersección del meridiano de Greenwich (latitud 0, longitud 0), y avanza por el meridiano hacia el polo norte. Una vez allí, gira $\pi/2$ a la derecha, y descenderás hasta el ecuador de nuevo por el meridiano 90. Una vez en el ecuador de nuevo (latitud 0, longitud 90) gira de nuevo a la derecha $\pi/2$, y podrás recorrer un cuarto del ecuador hasta regresar al punto de partida.

En una variedad con curvatura negativa ocurriría lo contrario, los ángulos de un triángulo siempre suman menos que $\pi$.

Veo que todo esto de que la variedad debe parecerse en cada punto a un espacio euclídeo te ha confundido un poco. En realidad, es algo a lo que estás más acostumbrado de lo que crees. Cuando estudias la diferenciabilidad de una función, ¿recuerdas la construcción que siempre se hace de la recta tangente? Decimos que una función es derivable en un punto si podemos hacer pasar por ese punto una recta que sea tangente a la función en ese punto, y todo eso. Esa recta (la "diferencial", cuya pendiente es "la derivada") no es más que un espacio euclídeo de una dimensión.

El concepto de variedad lo que hace es extender esto a cualquier número de dimensiones. Por ejemplo, una variedad de dimensión 2 es una superficie. En cada punto de la superficie podemos imaginarnos un plano tangente (en vez de una recta tangente). Si no nos vamos a mucha distancia del punto de origen, ese plano tangente es muy similar a la superficie curva. Pues eso es lo que quería decir esta mañana con lo de que las variedades tienen que parecerse a un espacio euclídio en un entorno de cada punto.

En una dimensión hablamos de "rectas tangentes" a cada punto, en dos dimensiones hablamos de "planos tangentes" a cada punto; y en general, en cualquier número de dimensiones, hablamos de "espacio tangente" en cada punto.

Por lo que respecta al termino "topología de esfera perforada", no lo entiendo pero no me preocupa.
Mas adelante el texto indica que la única diferencia entre el espaciotiempo de Minkowski y el galileano en que en el primero espacio y tiempo son magnitudes relativas a la velocidad de cada observador. Que es fundamentalmente una de las ideas básicas de la Relatividad Restringida.

En efecto, lo que los diferencia son las leyes de transformación que nos permiten pasar de un sistema de referencia a otro.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre terminologia relativista.

Unos días de descanso y algún correo que se me interpuso me impidió ver antes este correo. Por lo que se me traspapelo. Vamos a ver por partes a ver sí voy entendiendo algo.

La variedad no es nula. No existen las variedades nulas.
Si a caso, la curvatura es nula. Las variedades planas (sin curvatura) son esencialmente equivalentes a espacios euclídeos.

Entiendo que en un plano, la variedad es la misma en cualquier punto de este. De la misma forma que todos los puntos de una recta tienen la misma pendiente. ¿Es así?

Pues bien, en una variedad con curvatura positiva (como la esfera) resulta que los ángulos de un triángulo siempre suman más de $\pi$. E incluso es posible construir un triángulo donde los tres ángulos son rectos: ...
En una variedad con curvatura negativa ocurriría lo contrario, los ángulos de un triángulo siempre suman menos que $\pi$.

Esto también creo que lo entiendo. Me suena recordar que existen los espacios de Lovachevsky (ó algo parecido) que son como una especie de espacios con forma de trompeta, donde los ángulos de un triángulo sumarán menos que $\pi$.

Veo que todo esto de que la variedad debe parecerse en cada punto a un espacio euclídeo te ha confundido un poco. En realidad, es algo a lo que estás más acostumbrado de lo que crees. Cuando estudias la diferenciabilidad de una función, ¿recuerdas la construcción que siempre se hace de la recta tangente? Decimos que una función es derivable en un punto si podemos hacer pasar por ese punto una recta que sea tangente a la función en ese punto, y todo eso. Esa recta (la "diferencial", cuya pendiente es "la derivada") no es más que un espacio euclídeo de una dimensión.

Creo que ahora lo entiendo mejor. Los puntos próximos de una curva están en una recta igualmente, los puntos próximos de una superficie curva (por ejemplo una esfera o la bocina de una trompeta) estarán en un espacio euclídeo.

El concepto de variedad lo que hace es extender esto a cualquier número de dimensiones. Por ejemplo, una variedad de dimensión 2 es una superficie. En cada punto de la superficie podemos imaginarnos un plano tangente (en vez de una recta tangente). Si no nos vamos a mucha distancia del punto de origen, ese plano tangente es muy similar a la superficie curva. Pues eso es lo que quería decir esta mañana con lo de que las variedades tienen que parecerse a un espacio euclídio en un entorno de cada punto.

En una dimensión hablamos de "rectas tangentes" a cada punto, en dos dimensiones hablamos de "planos tangentes" a cada punto; y en general, en cualquier número de dimensiones, hablamos de "espacio tangente" en cada punto.

En efecto, lo que los diferencia son las leyes de transformación que nos permiten pasar de un sistema de referencia a otro.

Por lo que he entendido una derivada sería una variedad de una dimensión. O mas bien una variedad sería una derivada de "n" dimensiones. Donde n=2 para una superficie n=3 para un plano tridimensional, n=n para un espacio de "n" dimensiones. ¿Es así?

En fin. Creo que sigo necesitando una buena reflexión al respecto.
Un saludo y gracias.

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Re: Consulta sobre terminologia relativista.

Entiendo que en un plano, la variedad es la misma en cualquier punto de este. De la misma forma que todos los puntos de una recta tienen la misma pendiente. ¿Es así?

Bueno, la homogeneidad es una característica del espacio plano, pero hay espacios que no son planos que también son homogéneos.

La característica que define el espacio plano es que las líneas paralelas jamás se tocan y siempre permanecen a la misma distancia relativa. En cambio, en un espacio curvado las líneas paralelas se pueden juntar (como los meridianos de una esfera, curvatura positiva) o pueden separarse.

Por lo que he entendido una derivada sería una variedad de una dimensión. O mas bien una variedad sería una derivada de "n" dimensiones. Donde n=2 para una superficie n=3 para un plano tridimensional, n=n para un espacio de "n" dimensiones. ¿Es así?

Más bien, tendrías que quedarte con la copla de que una variedad es una generalización del concepto de superfície. En concreto, una variedad de dimensión 2 es una superficie. Una curva (como la gráfica de una función) es una variedad de dimensión 1. Luego, la propiedad matemática importante es que en cada punto de la variedad hay un espacio euclideo tangente. Y ese espacio tangente tiene la misma dimensión que la variedad: toda curva tiene una recta tangente, toda superficie tiene un plano tangente.