1r ciclo Gravedad, 2 masas se atraen y el radio varia.

[Angala]

Hola, el problema que tengo es que intento calcular el tiempo que dos objetos tardan en "chocar" debido a la gravedad. Normalmente si tenemos la Tierra y un objeto, el radio de la tierra es suficientemente grande como para considerar una aceleración constante. Si no lo fuese se podría calcular la aceleración el cualquier punto a través de la ley de la gravitación universal. El caso es que si tenemos 2 masas iguales separadas, al acelerarse la aceleración va aumentado, pues ambos objetos se están acercando uno al otro, y el radio va disminuyendo. La aceleración no es constante. ¿Como podría calcular la tasa de cambio del radio o de la aceleración?

No se si este razonamiento es correcto, pero en vez de contar con el acercamiento de ambos objetos, lo cual complicaría el problema, ¿sería correcto considerar que cada objeto sufre una fuerza gravitatoria, no por el otro objeto, sino por el centro de masas? es decir por el punto medio entre ambos y que tendría el doble de masa.

[felmon38]

Re: Gravedad, 2 masas se atraen y el radio varia.

Hola, en esta página está resuelto el problema :

http://es.wikipedia.org/wiki/Problem...os_dos_cuerpos

[guibix]

Re: Gravedad, 2 masas se atraen y el radio varia.

Si las dos masas son iguales y empiezan ambas en reposo, el problema es completamente simétrico. Lo suyo es poner el cero en el centro de masas y trabajar con un sólo objeto, el otro hará lo mismo en sentido opuesto.

Primero habría que "adaptar" la ley de gravitación a esta situación. La aceleración de un cuerpo hacia otro es independiente de la masa de él mismo y solo depende de la masa del otro. La única modificación para la aceleración es el radio que es el doble

$$a=-G\frac{m}{(2r)^2}$$

Lo que complica el problema es que ésta ecuación relaciona la aceleración con el radio y no nos dice nada del tiempo. Para ello hay que integrar y de entrada solo hallaremos la velocidad con respecto del radio. Seguiré los pasos de la expresión 8 de éste artículo para no tener que escribirlo todo:

$$\begin{aligned}<br /> \int_0^v v\dd v & =-G\int_{r_0}^r\frac{m}{4r^2}\dd r,\\<br /> \frac 1 2 v^2 & =Gm\left(\frac{1}{4r}-\frac{1}{4r_0}\right),\\<br /> v&=\sqrt{Gm\left(\frac{1}{4r}-\frac{1}{4r_0}\right)}.<br /> \end{aligned}$$

Ahora, siguiendo el paso 6 del mismo artículo, podemos hallar el tiempo con respecto de la posición:

$$\begin{aligned}<br /> \int_{t_0}^t\dd t&=\int_{r_0}^r\frac{\dd r}{\sqrt{Gm\left(\frac{1}{4r}-\frac{1}{4r_0}\right)}},\\<br /> \Delta t&=\int_{r_0}^r\frac{\dd r}{\sqrt{Gm\left(\frac{1}{4r}-\frac{1}{4r_0}\right)}}.<br /> \end{aligned}$$

Lo dejo aquí porqué sale un buen carro, pero aquí lo tienes.

Salud.

- - - Actualizado - - -

Lo he puesto en el Mathematica y me da esto:

$$\Delta t=\frac{2 \sqrt{r_0 (r - r_0)} + r_0 \left[\ln r - \ln r_0 + 2 \ln (1 + \sqrt{1 - r_0/r})\right]}{2 \sqrt{-Gm/r_0}}$$

Aparecen términos imaginarios en las raíces negativas que deberían cancelarse para todo $r_0\geqslant r.$

Saludos.