1r ciclo Expresiones de complejos

[leo_ro]

Dado un número complejo de la forma ${e}^{j (\omega t)}$ según euler:

${e}^{j (\omega t)}=\cos (\omega t)+ j \sin (\omega t)$

Pero he encontrad en una bibliografía que también puede expresarse ese número complejo en notración polar como:

${e}^{j (\omega t)}=\cos (\omega t+\phi)$

En donde las expresiones no me parecen equivalentes. Ya que en el miembro derecho hay un término que tiene como factor la unidad imaginaria, cosa que no está presente en el primer miembro.

$\cos (\omega t+\phi) \neq \cos (\omega t)+ j \sin (\omega t)$

Además que

$\cos (\omega t)=\frac{1}{2}{e}^{j\omega t} + \frac{1}{2}{e}^{-j\omega t}\neq {e}^{j (\omega t)}$

Me podrían dar una explicación de dicha igualdad. Saludos.

[visitante20160513]

Re: Expresiones de complejos

Lo intentaré, aunque habría que ver el contexto de la biografía a que haces referencia para estar seguros de que la interpretación que yo aporte aquí sea la correcta y no es un error de la fuente:

Haciendo:

$Cos(wt+\phi)=Cos(wt)Cos(\phi)-Sen(wt)Sen(\phi)=Cos(wt)+jSen(wt)$

que al identificar coeficientes llegamos a que:

$Cos(\phi)=1\qquad Sen(\phi)=-1$

Admitiendo ahora que $\phi$ puede ser un argumento complejo llegamos a que:

$Cos(a+jb)=Cos(a)Cos(jb)-Sen(a)Sen(jb)=1$

$Sen(a+jb)=Sen(a)Cos(jb)+Cos(a)Sen(jb)=-1$

Si existen valores reales de $a$ y $b$ que satisfagan estas ecuaciones entonces:

$\phi=a+jb$

Creo que no hay solución, y por lo tanto la única alternativa que nos quedaría es que el libro donde aparece esa formulación contendría un error.

Salu2

[leo_ro]

Re: Expresiones de complejos

El libro es muy conocido, Señales y Sistemas de Alan V. Oppenheim. Sección 1.3.
Y perdón me faltó un factor $A$ en la expresión, por lo que quedaría:

${e}^{j\omega t}=A Cos(\omega t +\phi)$

[visitante20160513]

Re: Expresiones de complejos

Pues no se, sin ver el texto donde aparece esa fórmula y en que forma la utiliza es difícil decidir si es un error o no lo es. Desde luego no es muy habitual establecer esa igualdad, a primera vista se diría que es un error porque lo normal es que todos los parámetros introducidos $(A, \phi)$ tomaran valores reales y en ese caso sería claramente un error, pero ... hay una puerta que podría estar abierta a otras posibilidades y que no es fácil de dilucidar sin ver el texto completo.

Salu2

[jfnp]

Re: Expresiones de complejos

Hola,

En mi edición del Oppenheim, no encuentro eso... ¿Qué edición tienes? Yo tengo la primera en inglés. Veo que algo parecido a lo que preguntas aparece en las ecuaciones (2.12) a (2.15), pero todas esas expresiones (en mi edición) son correctas. No aparece la relación que tú indicas.

Saludos,

[guibix]

Re: Expresiones de complejos

El libro es muy conocido, Señales y Sistemas de Alan V. Oppenheim. Sección 1.3.
Y perdón me faltó un factor $A$ en la expresión, por lo que quedaría:

${e}^{j\omega t}=A Cos(\omega t +\phi)$

Supongo que es con la amplitud en ambos lados ya que a la izquierda el módulo es 1 y a la derecha $A.$ Debería ser algo así como

$$A{e}^{j\omega t}=A \cos(\omega t +\phi).$$

En todo caso tampoco veo una solución plausible. La única vía posible, sería que $\phi$ fuera complejo. Aún así no lo veo claro con $\phi$ constante, debería ser una función del tiempo para "adaptar" el resultado, aunque no lo he comprobado. Si en el lado izquierdo no hay la amplitud, entonces la amplitud de la derecha también debería ser una función del tiempo, o eso creo .

No daría más vueltas al asunto, pues parece evidente que se trata de un error tipográfico.

Saludos

[leo_ro]

Re: Expresiones de complejos

Es la segunda edición del oppenheim. También, que puede ser de ayuda, da la siguiente relación

$A Cos(\omega t + \phi)= \frac{A}{2 }{e}^{j\phi}{e}^{j\omega t}+\frac{A}{2 }{e}^{-j\phi}{e}^{-j\omega t}$

[jfnp]

Re: Expresiones de complejos

Hola,

Pero esa relación que acabas de poner, es absolutamente correcta, y efectivamente, aparece en el Oppenheim. La que no es correcta, ni veo en el Oppenheim, es la que has puesto en tu pregunta inicial...

Saludos,

[leo_ro]

Re: Expresiones de complejos

Creo que he encontrado la igualdad ${e}^{j \omega t}=Cos (\omega t + \phi)$

si la señal $x(t)$ es real y puede escribirse como:

$x(t)= \sum_{k= - \infty}^\infty {a}_{k} {e}^{j \omega k t}$ (*)

por lo que

$x(t)= {a}_{0} + \sum_{k= 1}^\infty {a}_{k} {e}^{j \omega k t} + {a}_{-k} {e}^{-j \omega k t}$

${a}_{k}={a}_{-k}$

$x(t)= {a}_{0} + \sum_{k= 1}^\infty {a}_{k} ({e}^{j \omega k t} + {e}^{-j \omega k t} )$

$x(t)= {a}_{0} + \sum_{k= 1}^\infty 2 Re \{ {a}_{k} {e}^{j \omega k t} \}$

si ${a}_{k}$ lo expresamos en su forma polar ${a}_{k}={A}_{k} {e}^{j \phi}$

$x(t)= {a}_{0} + \sum_{k= 1}^\infty 2 Re \{ {A}_{k} {e}^{j (\omega k t + \phi)} \}$

por Euler:

$x(t)= {a}_{0} +2 \sum_{k= 1}^\infty {A}_{k} cos ( \omega k t + \phi)$ (#)

Si igualamos (*) y (#)

{a}_{k} {e}^{j \omega k t} = 2 {A}_{k} cos ( \omega k t + \phi)

¿Qué les parece?