1r ciclo Potencial en el origen de coordenadas

[ender550]

Buenas, tengo algunas dudas en este problema de electromagnetismo:

Un campo eléctrico en el vacío tiene simetría esférica y su valor es : $E_r= \frac{10^-6}{ \epsilon_0}(r-\frac{r^2}{a})$ para $r < a$ y es igual a 0 para $r \geqslant a$ . Se pide calcular la carga total encerrada en el interior de la esfera de radio a=1 con el centro en el origen, la distribución de carga en el interior de la esfera de radio a y el potencial en el origen de cooordenadas.

Por la ley de gauss he sacado que $Q_T=4\pi 10^-6 (\frac{r^4}{4 }-\frac{r^5}{5})$ tras haber sustituido el valor de a. A partir de aquí, ¿puedo calcular el valor del potencial en función de r integrando la función del campo eléctrico? Haciéndolo así, para r=0 el potencial es nulo, pero el problema dice que es nulo para r=a=1, con lo cual el potencial creo que debería tender a infinito.

Por otro lado, ¿la distribución de carga eléctrica es la densidad de carga ?

Gracias por la ayuda !

[Rodri]

Re: Potencial en el origen de coordenadas

Por la ley de gauss he sacado que

Aplicando la ley de Gauss $E_{T}4\pi r^{2}=Q_{T}/\varepsilon_{0}$. Fíjate que sólo hay que multipicar. Tú has integrado esa expresión.

¿puedo calcular el valor del potencial en función de r integrando la función del campo eléctrico?

Sí. Date cuenta de que $\vec{E}=-\nabla V = -\hat{r}\frac{\partial V(r)}{\partial r}$ al existir simetría esférica.
Entonces podemos calcular $V(r)=-\int E(r) dr$

pero el problema dice que es nulo para r=a=1, con lo cual el potencial creo que debería tender a infinito

Hay una constante de integración arbitraria en la función potencial, que quedaría determinada si nos dan una condición adicional, como el valor del potencial para un cierto valor de r.
Por otra parte ¿por qué dices que el potencial debería tender a infinito en r=0?

Para calcular la densidad de carga puedes usar la ecuación de la divergencia del campo eléctrico (ley de Gauss en forma diferencial): $\nabla\cdot \vec{E}=\frac{\rho}{ \varepsilon_{0}}$

[gdonoso94]

Re: Potencial en el origen de coordenadas

No he resuelto el ejercicio, pero independientemente de eso, si el potencial es 0 en el punto r=a, tendrás que integrar de 0 a a, con lo que te dará 0 en el radio y en el punto 0 otro valor, que echando cuentas así a ojo no es infinito...

La distribución de carga eléctrica es la densidad de carga eléctrica. Lo afirmo.

Un saludo!

[ender550]

Re: Potencial en el origen de coordenadas

Ahora veo el fallo.

El campo eléctrico no se integra porque es constante para la superficie gaussiana (la esfera de radio r), ¿verdad?

No había tenido en cuenta la constante de integración. La condición que da el problema para el potencial es que cuando r=1, V(1)=0. Así el potencial en r=0 no es nulo, sale constante.

Ahora ya me ha salido sin problemas. Muchas gracias !

[Rodri]

Re: Potencial en el origen de coordenadas

El campo eléctrico tiene un módulo constante sobre la superficie esférica de radio r y tiene dirección radial. Esto permite calcular su flujo a través de dicha superficie simplemente como el producto de E(r) por $4 \pi r^{2}$.

Saludos
Rodri