1r ciclo Topología

[Turing]

Hola,

voy un poco perdido en este campo y he llegado a este problema:

si $\dst A\subset \mathbb{R}$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

"Determina si A es acotado, abierto/cerrado, sus puntos adherentes, de acumulación y aislados. Además, si existe supremo, ínfimo, máximo y mínimo."

He comprobado que los puntos van aproximándose a (-e+1) y a (e+1) y, a partir de aquí:

Acotado? He dicho que si es acotado, pues podemos crear una bola de centro a y radio r que contenga todo el conjunto.
Adherentes? He considerado todos los del conjunto, ya que al crear una bola a partir de estos al menos se contienen a si mismos y, además, los puntos (-e+1) y (e+1), ya que como los puntos se aproximan a los mismos seguro que una bola en éstos contendrá alguno del conjunto.
Acumulación? Creo que serían (-e+1) y (e+1), ya que es donde se acumulan los puntos.
Aislados? Todos los del conjunto, pues no son de acumulación.
Supremo? (e+1), pues es la mínima de las cotas superiores.
Ínfimo? (-e+1), pues la mínima de las cotas inferiores.
No tiene ni máximo ni mínimo pues (e+1) y (-e+a) no pertenecen al conjunto.
No es abierto ni cerrado, pues no tiene puntos interiores y los puntos adherentes no son solo el conjunto.

Os agradecería que le dieseis un vistazo porque no tengo mucha idea de ésto, no he podido asistir a unas cuantas clases y voy muy perdido.

Un saludo!

[angel relativamente]

Re: Topología

Hola Turing, veamos. Supongo que A es una sucesión de números reales (es decir, el conjunto de todos los reales que cumplen la relación del enunciado).

Coincido en el supremo y el ínfimo que encuentras, y por tanto en que el conjunto no tiene máximo ni mínimo. Quizá habría que justificarlo un poco, no sé si has sabido hacer esto. Una forma es tomar el límite de las dos sucesiones parciales (para el caso n par y n impar) y ver que A es la unión de estas.

Acotado: Muy bonito, ahora solo tienes que explicitar la bola

Adherente: Coincido, los puntos adherentes son todos los de A más el supremo y el ínfimo. Esto es gracias a la densidad de $\mathbb{R}$.

Acumulación: También correcto, el ínfimo y el supremo son de acumulación porque por muy pequeño que hagas el radio de la bola siempre vas a tener puntos de A que pertenezcan. Ningún punto de A cumple eso, por ser todos aislados.

Aislados: Y por último, también correcto. Si centras una bola en alguno de sus puntos, siempre vas a encontrar un radio de modo que la bola no interseque con ningún otro punto del conjunto.

Os agradecería que le dieseis un vistazo porque no tengo mucha idea de ésto, no he podido asistir a unas cuantas clases y voy muy perdido.

Yo veo que te defiendes bastante bien, solo te he dado la razón en todo
Aunque habrás visto que es bastante sencillo siempre que conozcas bien las definiciones (y sobre todo si te mueves en subconjuntos de $\mathbb{R}$ ) .

[Turing]

Re: Topología

Coincido en el supremo y el ínfimo que encuentras, y por tanto en que el conjunto no tiene máximo ni mínimo. Quizá habría que justificarlo un poco, no sé si has sabido hacer esto. Una forma es tomar el límite de las dos sucesiones parciales (para el caso n par y n impar) y ver que A es la unión de estas.

Ahora lo pruebo.

Acotado: Muy bonito, ahora solo tienes que explicitar la bola

Gracias por recordármelo !

Yo veo que te defiendes bastante bien, solo te he dado la razón en todo

Me alegras el dia heheheh.

[angel relativamente]

Re: Topología

Tampoco sé qué nivel de justificación te piden, pero te habrás dado cuenta que todo lo que has dicho es un poco impreciso (aunque supongo que tampoco te harán precisar mucho más). Por ejemplo, te has (nos hemos) sacado de la manga que todos los puntos de A son aislados (la justificación de que son aislados porque no son de acumulación estaría bien si no hubiésemos supuesto que no son de acumulación por ser aislados). En $\mathbb{R}$ es muy visual todo, entonces sabes que todo lo que estás diciendo es cierto porque te conoces muy bien las propiedades. Pero si te hubiese dado un conjunto abstracto, habría que ser más precisos y rigurosos.

Un detalle que sí podrías añadir es la bola que puedes centrar en cualquier punto de $A$ que no contenga a ningún otro. Por ejemplo, dado un $x_0 \in A$, defines el número $\epsilon = \min \{ d(x_0 , x ) \vert x \in A \}$ y ves que la bola centrada en $x_0$ y radio $r= \epsilon /2$ no contiene a ningún otro punto de A. Con eso habrías demostrado que todos los puntos de A son aislados. Pero naturalmente te podría surgir la pregunta: ¿y cómo sé que el conjunto $\{ d(x_0 , x ) \vert x \in A \}$ tiene mínimo? Naturalmente también es algo que me he sacado de la manga, pero no es muy difícil verlo si ves que cada punto de $A$ es la imagen por una función que a cada entero positivo n le asocia el número del enunciado (función de n), y que los enteros positivos tienen una distancia mínima entre ellos (que es 1).

Supongo que ves que ser riguroso en estos temas es complicado, pero poco a poco irás cogiéndole el manejo

[Turing]

Re: Topología

Gracias por éstas clases magistrales!!

Supongo que ves que ser riguroso en estos temas es complicado, pero poco a poco irás cogiéndole el manejo

Y más ahora que acabo de empezar, pero con ganas todo es posible, mil gracias de nuevo Ángel!