Secundaria MRU

[jotareiso]

Hola!!!

Estoy dando clases de repaso a un niño de 4 de la ESO y me ha venido con el siguiente problema:

" Tres turistas que tienen una bici deben recorrer 30 km en el menor tiempo posible. En la bici pueden ir 2 personas y van a una velocidad de 20 km/h. A pie pueden ir a 4 km/h. ¿Como lo deben hacer para llegar los tres al destino? ¿Que tiempo necesitan como minimo para llegar?"

El problema parece fàcil. Mi respuesta es 3,5 hDos en bici hacen les 30 km y el otro a pie hace 6. vuelve uno en bici y se encuentran en el km 10 (ya han pasado 2,5 h) y se lo lleva hasta el km 30. Tiempo total 3,5h.

Hay algúna otra forma? Porque el alumno me ha dicho que su profesor tardo 1 h para hacer este problema y una de dos o es corto o no es tan lógico como parece.

Gracias por las respuestas

[angel relativamente]

Re: MRU

Sin haber pensado si el problema está o no bien resuelto, creo que le falta un ingrediente fundamental a este guiso: demostrar que 3,5h es el tiempo mínimo.

Saludos,

[Al2000]

Re: MRU

Seguramente esas 3.5 h no son el mínimo tiempo. Esto se puede deducir de que, si la primera persona se apea de la bicicleta alguna distancia antes de la meta, entonces la segunda persona podrá regresar antes por la tercera, mientras que la primera avanza caminando. La solución de las 3.5 h implica que la primera persona espere inactiva a que la segunda persona busque y traiga de regreso a la tercera.

Saludos,

Al

- - - Actualizado - - -

Hice los cálculos y me resulta que el tiempo mínimo es de 3 h. Dos parten en la bicicleta, uno se apea en el kilómetro 22.5 y continúa a pie. El segundo en la bicicleta regresa por el tercero a la marca 7.5 km y se reúnen con el primero en la meta.

Saludos,

Al

[abuelillo]

Re: MRU

Como ya han explicado la solucion no es tan obvia, el tiempo minimo seria de 3 horas. Una forma de resolverlo es igualando los tiempos de viaje usando la formula de siempre:
tiempo = espacio recorrido/velocidad, lo que lleva a un sistema de dos ecuaciones y dos incognitas.
Digamos que A es el turista que empieza caminando, B la bicicleta y C el turista que va inicialmente en bicicleta pero se acaba apeando y hace el ultimo tramo a pie.
Si llamamos X1 a la distancia recorrida por la bicicleta hasta el momento que suelta al turista C.
Y llamamos X2 a la distancia recorrida por el turista A hasta que la bicicleta lo recoge.

|km0 ==== X2 ============ X1 ==== km30|

El tiempo que tarda A en recorrer la distancia X1 tiene que ser igual al tiempo que tarda la bicicleta en volver hasta ese mismo punto a recogerlo (la bicicleta recorrer la distancia X1, y despues vuelve hacia atras recorriendo la distancia (X2-X1) hasta encontrase con el turista A. De aqui sale una de las ecuaciones, que seria mas o menos:

$<br /> \frac{X_2}{4} = \frac{ X_1+(X_1-X_2) }{20}<br />$

que simplificando se quedaria en

$<br /> X_{1}=3X_{2}<br />$

Y despues tenemos que el tiempo que tarda el turista C en realizar el ultimo tramo caminando (el ultimo tramo serian 30-X1), tiene que ser igual al tiempo que tarda B en hacer el recorrido de vuelta, recoger a A y volver a rehacer todo el camino hasta llegar al final del recorrido (en este caso la bicicleta recorre 2 veces (X1-X2) + el ultimo tramo que seria (30-X1) ). Con esto nos aseguramos que la bicicleta y el turista C lleguen justo en el mismo momento a la meta, lo que se corresponde con el tiempo minimo de viaje.

$<br /> \frac{30-X1}{4}=\frac{ 2(X_1-X_2)+(30-X1) }{20}<br />$

que se queda en:

$<br /> 3X1-X2=60<br />$

Ya solo basta resolver el sistema de dos ecuaciones y sale X1=22,5km y X2=7.5km.
El tiempo total se puede calcular de varias formas y asi de paso se comprueba si los calculos se hicieron bien.
Usando el espacio total recorrido por la bicicleta ( que seria 30 km + 2 veces el recorrido (X1-X2) ) divido entre su velocidad, es decir:

$<br /> \frac { (30+2(22.5-7.5) )}{ 20 }= 3 horas<br />$

O usando el tiempo del primer recorrido de la bicicleta hasta X1 mas el tiempo de recorrido del ultimo tramo de C:

$<br /> \frac {22.5}{20}+\frac {30-22.5}{4}= 3 horas<br />$

O usando el tiempo del recorrido a pie de A + recorrido ultimo tramo de B:

$<br /> \frac {7.5}{4}+\frac {30-7.5}{20}= 3 horas<br />$

[Breogan]

Re: MRU

Hola:

Mas que estar en mecánica Newtoniana este problema merecería ser un desafió en la web de física.

Creo que mas allá de la validez de los razonamientos expuestos, ninguno resuelve el desafío de demostrar que el valor encontrado es el mínimo posible.

A ojo y sin meterme de lleno en la solución del problema (si tengo tiempo mañana lo trato de encarar), el tema pasa por encontrar la mayor velocidad promedio posible y que sea igual para los tres turistas.
El echo de hacer una sola parada por parte de la bicicleta para volver a buscar al que viene a pie le baja mucho su velocidad promedio (mucho espacio recorrido hacia adelante y hacia atrás en esta etapa, tiempo desperdiciado) y sube poco la velocidad promedio de los otros. Se me ocurre que si este proceso lo realizara mas veces seria mas efectivo.

Para mi el proceso debería ser, llamando A al que va en la bicicleta y B y C a los turistas que caminan:

1º A y B parten en bicicleta y C caminando
2º A deja a B y se dirige hacia atras a recoger a C
3º A recoge a C y avanza hasta pasar a B
4º A deja a C y se dirige hacia atras a recoger a B
5º A recoge a B y avanza hasta pasar a C

y esto se repite un cierto número de veces hasta que los tres llegan simultaneamente a la meta.

Creo que por ahí puede ir la solución, aunque no tengo ni idea como plantearlo matematicamente.

Suerte

[abuelillo]

Re: MRU

El echo de hacer una sola parada por parte de la bicicleta para volver a buscar al que viene a pie le baja mucho su velocidad promedio (mucho espacio recorrido hacia adelante y hacia atrás en esta etapa, tiempo desperdiciado) y sube poco la velocidad promedio de los otros. Se me ocurre que si este proceso lo realizara mas veces seria mas efectivo.

Asi sin pensarlo mucho, ese sistema daria el mismo tiempo minimo de 3 horas. Puedes dividir el tramo de 30 kilometros en 2 tramos de 15.
Para cada tramo de 15 la solucion mas rapida sigue siendo la misma que para el tramo total de 30 kilometros. Solo hay que dividir el resultado total por 2.
Y por mucho que vuelvas a dividir el espacio total en muchos mas tramos pequeñitos, lo unico que haces es ir aplicando la misma solucion pero con un cambio de escala lineal, y la suma de todos los tramos va a dar el mismo resultado total de 3 horas.
Tenemos 3 tramos con 3 tiempos de viaje: A B C
|km0 ==A== | =====B======= | ==C== km30|
Por mucho que añadas mas tramos, lo unico que estas haciendo es trocear los recorridos A, B y C en piezas mas pequeñas y desordenarlas (u ordenarlas de otra forma), pero al final la suma de todas esas piezas da el mismo resultado.

[Breogan]

Re: MRU

Hola:

Gracias por la respuesta abuelillo, en principio concuerdo con el razonamiento que expresas en tus dos últimos post, me suenan totalmente lógicos.

Pero como lamentablemente soy un poco terco y bastante lerdo, me puse a plantear la matemática del problema, para calcular el valor como indicaste en tu post y con dos movimientos mas, si me daban igual me convencía totalmente, si no era así estaba en un problema.

El problema es que como lo plantee me da que no es posible hacerlo en tres intervalos, cosa que atenta contra la lógica, por lo cual lo que plantee esta mal, pero lo revise varias veces y no logro encontrar el error. Por eso necesito vuestra ayuda para encontrar el error, y con este fin transcribo mi planteo del problema.

Llamo A al turista que va siempre en bicicleta, y B y C a los otros dos; para no confundir, los movimientos con la bicicleta llevan un sub indice v (de vehículo), y los que son caminando llevan el sub indice p (de pedestre).

La coordenada de cada turista esta indicada con un super indice que indica a quien pertenece, y un sub indice que indica la etapa a la cual corresponde.

Como sugirieron el recorrido total esta dividido entres etapas, que p.e. la 1º estará representada por:

$\dst t_1 \quad (A+B)_v \to \quad C_p \to$

Que se puede leer como: el 1º intervalo dura t1, A y B van en la bicicleta hacia la meta y C va a pie hacia la meta. Dicho esto les paso mi planteo:

1º Etapa:

$\dst t_1 \quad (A+B)_v \to \quad C_p \to$

las coordenadas de cada turista al final de esta etapa están dados por:

$$\dst x_1^A=v_v \ t_1$$

$$\dst x_1^B=v_v \ t_1$$

$$\dst x_1^C=v_p \ t_1$$

y se comprueba que al final de esta etapa $x_1^A=x_1^B$


2º Etapa:

$\dst t_2 \quad (C_p \to) \leftarrow A_v \quad B_p \to$

las coordenadas de cada turista al final de esta etapa están dados por:

$\dst x_2^A=x_1^A-v_v \ t_2 \quad \underbrace{\Rightarrow}_{(1)} \quad x_2^A=v_v \ t_1-v_v \ t_2 \quad \Rightarrow \quad x_2^A=v_v \ (t_1-t_2)$

$\dst x_2^B=x_1^B+v_p \ t_2 \quad \underbrace{\Rightarrow}_{(2)} \quad x_2^B=v_v \ t_1+v_p \ t_2$

$\dst x_2^C=x_1^C+v_p \ t_2 \quad \underbrace{\Rightarrow}_{(3)} \quad x_2^C=v_p \ t_1+v_p \ t_2 \quad \Rightarrow \quad x_2^A=v_p \ (t_1+t_2)$

Pero al final de esta etapa A y C se encuentran en el mismo lugar, por lo cual $\dst x_2^A=x_2^C$ y tenemos que:

$\dst x_2^A=x_2^C \quad \Rightarrow \quad v_v \ (t_1-t_2)=v_p \ (t_1+t_2) \quad \Rightarrow \quad (v_v-v_p)t_1=(v_v+v_p)t_2 \quad \Rightarrow$

$\dst \quad \Rightarrow \quad t_2=\frac{v_v-v_p}{v_v+v_p}\ t_1 \quad \Rightarrow \quad t_1-t_2=2 \frac {v_p}{v_v+v_p}\ t_1$

llamando $\dst \beta = \frac {v_p}{v_v+v_p}$ llegamos a:

$$\dst t_1 -t_2 = 2 \beta \ t_1$$

$$\dst t_2 = (1- 2 \beta) \ t_1$$

Si expresamos las coordenadas de cada uno de los turistas al final de esta etapa teniendo en cuenta las expresiones (4) y (5) quedan:

$$\dst x_2^A = 2 \ v_v \ \beta \ t_1$$

$$\dst x_2^B = [v_v + v_p \ (1-2\ \beta )]\ t_1$$

$$\dst x_2^C = 2 \ v_p \ (1-\ \beta )\ t_1$$

3º Etapa:

$\dst t_3 \quad (A+C)_v \to \ \quad B_p \to$

las coordenadas de cada turista al final de esta etapa están dados por:

$\dst x_3^A = x_2^A + v_v \ t_3 \quad \underbrace{\Rightarrow}_{(6)} \quad x_3^A = 2 \ v_v \ \beta \ t_1 + v_v \ t_3$

$\dst x_3^B = x_2^B + v_p \ t_3 \quad \underbrace{\Rightarrow}_{(7)} \quad x_3^B = [v_v+v_p \ (1-2 \ \beta)] \ t_1 + v_p \ t_3$

$\dst x_3^C = x_2^C + v_v \ t_3 \quad \underbrace{\Rightarrow}_{(8)} \quad x_3^C = 2 \ v_p \ (1 - \beta) \ t_1 + v_v \ t_3$

y se debe cumplir que al final de la etapa los tres tienen que haber llegado a la meta, por esto resulta que:

$\dst x_3^A = x_3^B = x_3^C = 30$

Esto nos da un sistema de tres ecuaciones con dos incognitas, a saber:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

al cual no le logro encontrar solución.

No se si me equivoque en algun procedimiento matemático o en algún planteo físico, pero ya lo revise varias veces y no lo logro ver, seguro es una tontería y se me pasa.

Les agradezco sus posibles aportes.

Gracias.

Suerte

[Al2000]

Re: MRU

Las ecuaciones están bien, pero no son tres sino mas bien dos ecuaciones; la primera y la tercera son iguales. La solución de las dos ecuaciones lleva al resultado correcto $t_1 = t_3 = 1.125\,\mathrm{h}$, lo cual te deja con $t_2 = 0.75\,\mathrm{h}$ para un tiempo total $t_1 + t_2 + t_3 = 3\,\mathrm{h}$.

Saludos,

Al

- - - Actualizado - - -

Actualizo para darle la razón a abuelillo. La solución conseguida es la que da el tiempo mínimo con el menor número de devoluciones (1) del ciclista, pero se obtiene el mismo tiempo total si se avanza a los turistas en distancias mitad y cuarta parte, etc. Entiendo que la clave del asunto es que en ningún momento quede un turista esperando en la meta, lo que exige dividir la distancia en segmentos tales que exista coincidencia en la última movida.

Anexo una hoja de Excel con una simulación de la situación.

Saludos,

Al

[abuelillo]

Re: MRU

Una forma de demostrar que por muchos segmentos, en el que se divida la distancia ( e independientemente del tamaño de los segmentos) el tiempo total es el mismo, seria comprobar que para unos valores constantes de velocidades (v1,v2), el tiempo total minimo (t) es proporcional a la distancia (D).
Esto se comprueba de forma sencilla, basta calcular la expresion de t en funcion de todos los parametros y se ve que se puede sacar factor comun D, y nos quedaria la igualdad:

$<br /> t= kD <br />$

donde k es una expresion que esta solo en funcion de v1 y v2 y por lo tanto es constante.

Una vez comprobado esto (no voy a poner el desarrollo que tardo mucho y solo es operar un poco con las ecuaciones y despejar terminos), si dividimos D en n segmentos d1,d2,..dn de cualquier tamaño, de modo que cumplan:

$<br /> D = \sum_{i = 1}^n d_i<br />$

Para dos v1,v2 constantes el tiempo empleado para el tramo total seria:

$<br /> t_1 = k D<br />$

y para los segmentos:

$<br /> t_2 = \sum_{i = 1}^n kd_i = k\sum_{i = 1}^n d_i = kD = t_1<br />$

Es decir:

$<br /> t_1 = t_2<br />$