Avanzado una conjetura sobre polinomios

[carroza]

Hola a todos.

Consideremos un polinomio en dos variables x e y de la forma:

$P_n(x,y) = (x+y)^n - x^n - y^n$.

El problema es factorizar este polinomio. Resulta fácil darse cuenta que hay un factor $xy$. También resulta facil ver que, si n es impar, hay otro factor $(x+y)$. Lo que no resulta facil es ver que, si n es un número primo mayor o igual a cinco, también hay un factor $x^2 + xy + y^2$.

Así que, la conjetura, que no he sido capaz de demostrar, es que, para todo número primo p mayor o igual a 5, se cumple que

$P_p(x,y) = (x+y)^p - x^p - y^p = p x y (x+y) (x^2 + xy + y^2) Q_p (x,y)$,

Donde $Q_p(x,y)$ es un polinomio homogéneo de orden p-5.

Podeis echarme una mano?

PS: En mathematica on line (www.wolframalpha.com) podeis probar distintas factorizaciones , usando el comando factor. Por ejemplo, factor[(x+y)^7-x^7-y^7].

Saludos

[rarar]

Re: una conjetura sobre polinomios

Hola a todos.

Consideremos un polinomio en dos variables x e y de la forma:

$P_n(x,y) = (x+y)^n - x^n - y^n$.

El problema es factorizar este polinomio. Resulta fácil darse cuenta que hay un factor $xy$. También resulta facil ver que, si n es impar, hay otro factor $(x+y)$. Lo que no resulta facil es ver que, si n es un número primo mayor o igual a cinco, también hay un factor $x^2 + xy + y^2$.

Así que, la conjetura, que no he sido capaz de demostrar, es que, para todo número primo p mayor o igual a 5, se cumple que

$P_p(x,y) = (x+y)^p - x^p - y^p = p x y (x+y) (x^2 + xy + y^2) Q_p (x,y)$,

Donde $Q_p(x,y)$ es un polinomio homogéneo de orden p-5.

Podeis echarme una mano?

PS: En mathematica on line (www.wolframalpha.com) podeis probar distintas factorizaciones , usando el comando factor. Por ejemplo, factor[(x+y)^7-x^7-y^7].

Saludos

Hola.

Sí, efectivamente se cumple para "n" primo. Hace tiempo investigué ese "tema".

Y, además:

$\text{Si }\ n= \text{primo } \ \forall{k} \in{N}\ / \ n=(6k-1) \rightarrow{}$

$\rightarrow{} P_n(x,y)=(x+y)^n-x^n-y^n=nxy(x+y)(x^2+xy+y^2) \ Q_{n-5}(x,y)$


$\text{Si }\ n= \text{primo } \ \forall{k} \in{N} / \ n=(6k+1) \rightarrow{}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Un cordial saludo.

[carroza]

Re: una conjetura sobre polinomios

Gracias, Rarar. También había observado ese factor al cuadrado.

Profundizando en este tema, me he dado cuenta de que el factor $(x^2 + xy + y^2)$ aparece no sólo para los valores de n primo, sino para todos los valores en los que n no es múltiplo de 2 ni de 3. Por ejemplo, para n=25 se cumple (aunque en este caso no salga fuera un factor común 25).

Creo que esto tiene que ver con lo siguiente: Si definimos z= y/x, tenemos que la conjetura es

$P_n(z) = (z+1)^n - 1 - z^n = n z (z+1) (1 + z + z^2) Q_n (z)$.

Ahora, las raices complejas de $(1 + z + z^2)$ son $z= -1/2 \pm \sqrt{3}/2 i$, que son las raices cúbicas de 1.

Ahora, puede verse que si n es impar, y n no es multiplo de 3, entonces z=1 y $z= -1/2 \pm \sqrt{3}/2 i$ son raices de
$(z+1)^n - 1 - z^n$. Esto puede verse porque, si $z= -1/2 + \sqrt{3}/2 i$, entonces $-(1+z)= -1/2 - \sqrt{3}/2 i$. Si estos números complejos, que son las raices cúbicas no triviales de 1, los elevamos a un número n que no sea múltiplo de 3, nos vuelven a dar raíces cúbicas no triviales de 1.

Así, si n es impar


$P_n(z) = (z+1)^n - 1 - z^n = -(-z-1)^n - 1 - z^n$.

y si además n no es múltiplo de 3,

$P_n(-1/2 + \sqrt{3}/2 i) = -(-1/2 - \sqrt{3}/2 i)^n - 1 -(-1/2 + \sqrt{3}/2 i)^n$

$P_n(-1/2 + \sqrt{3}/2 i)= -(-1/2 - \sqrt{3}/2 i) - 1 -(-1/2 + \sqrt{3}/2 i) = 0$.

Por tanto, como el polinomio P_n(z) tiene las mismas raices que (1 + z + z^2), puede factorizarse con este factor.

Lo que no sé es por qué en ciertos caso, como Rarar indica, el factor (1 + z + z^2) sale al cuadrado.

¿Alguna idea?

Un saludo