1r ciclo Vectores ortogonales

[Felpudio]

Hola, espero puedan ayudarme con el siguiente ejercicio:

Muestre que todo 4-vector ortogonal a un vector temporaloide o nulo (distinto al vector nulo mismo en el segundo caso) debe necesariamente ser espacialoide. Muestre además que dos vectores espacialoides si pueden ser ortogonales entre sí.

Gracias.

[Jose D. Escobedo]

Re: Vectores ortogonales

Hola Felpudio,

Aquí te va la idea, pero tu lo terminas, porque a veces no tengo tiempo para terminarlo totalmente.
La métrica es $(ds)^2=(dx_1)^2+(dx_2)^2-(c dt)^2$ (estoy usando dos dimensiones espaciales y una temporal, despues tu generalizas para (3;1). Me imagino que cuando $(ds)^2<0$, estaríamos hablando del intervalo temporaloide, para $(ds)^2=0$ de un intervalo nulo y $(ds)^2>0$ de un intervalo espacialoide.
Para simplificar, $x_1^2+x_2^2-x_3^2$...(1), por ser lineales y por que tome el origen (0,0,0). El cono (1), como es una forma cuadrática homogenea, voy a dividir la expresión por $x_3^2$, para que el cono se transforme en un círculo, es decir, $\dst \frac{x_1^2}{x_3^2 }+\frac{x_2^2}{x_3^2 }-1=x^2+y^2-1$, recuerda que se puede utilizar unidades naturales de $c=1$ y a $t$, tambien por extensión. La idea es relacionar la geometría proyectica con producto escalar definido en el espacio de Minkowski. Digamos que localizo el vector $(\dst \frac{1}{ 4}, \frac{1}{2 },1)$...(2), el cual esta localizado en el cono, o en círculo en el plano $x_3=1$ de forma proyectiva, es decir tengo un vector temporaloide, porque $\dst (\frac{1}{4 })^2+(\dst \frac{1}{2 })^2-1=-\dst \frac{11}{16 }<0$.
El vector (2), representa a un punto dentro del círculo de radio $r=1$ y por el teorema de Apollonio del polo y linea polar que es perpendicular, los unicos puntos perpendiculares a ese punto estan fuera de ese círculo formando la linea perpendicular, o sea que estan en el lugar, donde los unicos vectores perpendiculares, es la zona de los vectores espacialoides.
Ahora bien, si utilizo matrices la defición de producto escalar en el espacio de minkowski, esta sería: $x^TMa$...(3), donde $x^T$ es el vector transpuesto $x^T=(x,y,1)$, $M$ es la matriz con traza igual a $1,1,-1$ y ceros en las otras componentes, y $a$ sería el vector columna $(\dst \frac{1}{4 }, \dst \frac{1}{2 },1)$. Igualando (3) a cero para que sean perpendiculares el vertor $\vec{x}$ y el vector $\vec{a}$ en el sentido del espacio de Minkowski o pseudo-euclideo. Entonces, tendríamos que: $\dst \frac{x}{4 }+\dst \frac{y}{2 }-1=0$...(4), de aquí se tendría que aplicar la condición $x^2+y^2<1$...(5), para que el otro vector sea temporaloide. Es decir que las condiciones (4) y (5) no se cumplen para que un vector temporaloide sea perpendicular a otro temporaloide. En general para el espacio $(2;1)$ la condiciones generales que no se cumplen para que dos vectores temporalodes sean perpendiculares, son las siguientes:
$a^2+b^2<1$, $x^2+y^2<1$ y $ax+bx=1$, el detalle es que hay que probar estas condiciones algebraicamente. Para el espacio $(3;1)$ se tendría algo similar, pero esta vez sería para una esfera y plano.

Nota: ya estoy un poco cansado y me voy a dormir, si escribí algo mal o te deje con dudas dejamelo saber. De todas formas creo que si no te puedo ayudar, alguien lo hará.

Saludos

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Continuando y resumiendo para el espacio [3;1], no se cumple que: $a^2+b^2+c^2<1$, $x^2+y^2+z^2<1$ y que $ax+by+cz=1$, de lo contrario se podría encontrar dos vectores temporaloides que sean perpendiculares.

Lo que si se puede cumplir es que: $a^2+b^2+c^2>1$, $x^2+y^2+z^2<1$ y que $ax+by+cz=1$ para un vector temporaloide puedes encontrar "al menos" un vector espacialoide que perpendicular.

Pero tambien pasa, que para un vector espacialoide si existe muchos otros vectores especialoides que sean perpendiculares, es decir que cumple: $a^2+b^2+c^2>1$, $x^2+y^2+z^2>1$ y que $ax+by+cz=1$, siendo $a,b,c,x,y,z$ números "reales"

Saludos

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