1r ciclo Duda en saber cuántas aplicaciones lineales existen...

[SCHRODINGER27]

Hola amigos, traigo una última cuestión que agradecería muchísimo si me ayudasen a orientarme:

¿Cuántas aplicaciones lineas hay de R3 en R3 que cumplan:

f(1,0,1) = (0,2,1)
f(0,1,2) = (1,1,1)
f(-1,1,1) = (1,-1,0)?

Razonar la respuesta

Gracias y perdón por preguntar tanto, me lío con las aplicaciones lineales.

[Rodri]

Re: Duda en saber cuántas aplicaciones lineales existen...

Date cuenta de que el problema es equivalente a preguntar cuántas matrices A cumplen la ecuación siguiente:

$A \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$

Esta es una ecuación entre matrices que se resuelve despejando A:

$A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}^{-1}$

para lo que tienes que calcular la matriz inversa $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}^{-1}$

Si esta matriz inversa existe entonces A existe y es única, lo que es lo mismo que decir que existe una aplicación (y solo una) que cumple lo dicho por el enunciado.
Si en cambio esa inversa no existe entonces la ecuación matricial no tiene solución. Si reflexionas un poco, verás que esto quiere decir que el sistema equivalente de 9 ecuaciones con 9 incógnitas (los 9 elementos de A) es incompatible.

Para saber si existe esa inversa tendrás que ver si el determinante de la matriz se anula o no. Si no se anula, la inversa existe y la respuesta es la primera. Si se anula, la inversa no existe y la respuesta es la segunda.

[sater]

Re: Duda en saber cuántas aplicaciones lineales existen...

Buenas, estudias en murcia?
Lo digo porque ese (tal cual) es un ejercicio de examen, pero que que yo sepa no entra.

[SCHRODINGER27]

Re: Duda en saber cuántas aplicaciones lineales existen...

Hola! Pues no, no estudio en Murcia. Lo encontré en un libro. Se ve que tu profesor los cogerá de ese libro o algo...
Un saludo y gracias por contestar.

[sater]

Re: Duda en saber cuántas aplicaciones lineales existen...

Buenas, entiendo la resolución de este ejercicio, pero cómo se haría si fuera:
f(3,5)=(1,1,1)
f(2,-7)=(1,2,3)
f(8,3)=(3,4,3)

ó

una aplicación lineal cualquiera entre R^n y R^m?

¿Hay alguna otra forma?