1r ciclo Fuerza ejercida sobre una carga de prueba en movimiento

[natanael]

miren tías, estoy leyéndome el libro que recomienda nuestro amigo Rodri en este hilo, el libro tiene mucho peso, ya que lo usan los drogadictos del M.I.T.

voy por el capítulo 8 y todo iba bien hasta que mi desnutrición mental hizo que me quedara estancado en unas peorras cuentas algebraicas.

es de la pagina 284, el caso 2, el cual empiesa considerando que una carga de prueba $q_2$ posee una velocidad $u_x$ (con respecto a un sistema $S$ en reposo), diferente de una velocidad $v$ (velocidad de la carga-fuente $q_1$ y de un sistema de referencia $S'$ con respecto a $S$), pero paralela a ella (carga de prueba $q_2$).

luego, para poder aplicar las escuaciones de esta tía:



, entiendo que, nos tenemos que pasar al sistema $S'$ donde la carga fuente esté en reposo, allí las ecuaciones toman la tan familiar forma:

$<br /> \begin{aligned}<br /> F_x' & =0 &&& F_y' & =kq_1q_2/{y'}^2 &&& F_z' & =0<br /> \end{aligned}<br />$

luego, al regresarnos al sistema $S$ utiliza unas ecuaciones (8-7), las cuales son:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

considerando el valor no nulo de $\boldsymbol{u'}$, es decir:

$<br /> \begin{aligned}<br /> u_x' & =\frac{u_x-v}{1-vu_x/c^2} &&& (u_y' & =0, u_z' & =0)<br /> \end{aligned}<br />$

a la final, el valor de fuerza sobre la carga de prueba $q_2$ en el sistema $S$ les queda expresado de la siguiente forma:

$<br /> \begin{aligned}<br /> F_x & =0 &&& F_y & =\frac{\gamma kq_1q_2}{y^2}\left(1-\frac{vu_x}{c^2}\right) &&& F_z & =0<br /> \end{aligned}<br />$

y es al resultado de $F_y$ al cual no le llego. yo parto de:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

luego

$\dst\begin{aligned}F_{y}&=\frac{\frac{\frac{kq_{1}q_{2}}{y^{2}}}{\gamma}}{1+\frac{v}{c^{2}}\left(\frac{u_{x}-v}{1-\frac{vu_{x}}{c^{2}}}\right)}\\&=\frac{\frac{\frac{kq_{1}q_{2}}{y^{2}}}{\gamma}}{1+\frac{v}{c^{2}}\left(\frac{u_{x}-v}{\frac{c^{2}-vu_{x}}{c^{2}}}\right)}\\&=\frac{\frac{\frac{kq_{1}q_{2}}{y^{2}}}{\gamma}}{1+\frac{v}{c^{2}}\left[\frac{c^{2}\left(u_{x}-v\right)}{c^{2}-vu_{x}}\right]}\\&=\frac{\frac{\frac{kq_{1}q_{2}}{y^{2}}}{\gamma}}{1+\frac{v\left(u_{x}-v\right)}{c^{2}-vu_{x}}}\\&=\frac{\frac{\frac{kq_{1}q_{2}}{y^{2}}}{\gamma}}{\frac{c^{2}-vu_{x}+vu_{x}-v^{2}}{c^{2}-vu_{x}}}\end{aligned}$

, ¿dentro de [TEX] [/TEX] sólo 1000 caracteres?, qué compilador tan miserable!

$\dst\begin{aligned}F_{y}&=\frac{\frac{kq_{1}q_{2}}{y^{2}}\left(c^{2}-vu_{x}\right)}{\gamma\left(c^{2}-v^{2}\right)}\\&=\frac{kq_{1}q_{2}\left(c^{2}-vu_{x}\right)}{\gamma y^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)}\\&=\frac{\gamma}{\gamma}\frac{kq_{1}q_{2}\left(c^{2}-vu_{x}\right)}{\gamma y^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)}\\&=\frac{\gamma kq_{1}q_{2}\left(c^{2}-vu_{x}\right)}{\gamma^{2}y^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)}\\&=\left(\frac{\gamma kq_{1}q_{2}}{y^{2}}\right)\left[\frac{c^{2}-vu_{x}}{\gamma^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)}\right]\end{aligned}$

,

$\dst\begin{aligned}F_{y}&=\left(\frac{\gamma kq_{1}q_{2}}{y^{2}}\right)\left[\frac{c^{2}-vu_{x}}{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\left(c^{2}-v^{2}\right)}\right]\\&=\left(\frac{\gamma kq_{1}q_{2}}{y^{2}}\right)\left[\frac{c^{2}-vu_{x}}{\frac{\left(c^{2}-v^{2}\right)\left(c^{2}-v^{2}\right)}{c^{2}}}\right]\\&=\left(\frac{\gamma kq_{1}q_{2}}{y^{2}}\right)\left[\frac{c^{2}\left(c^{2}-vu_{x}\right)}{\left(c^{2}-v^{2}\right)^{2}}\right]\\&=\left(\frac{\gamma kq_{1}q_{2}}{y^{2}}\right)\left[\frac{c^{2}\left(\frac{c^{2}}{c^{2}}\right)\left(c^{2}-vu_{x}\right)}{\left(c^{2}-v^{2}\right)^{2}}\right]\\&=\left(\frac{\gamma kq_{1}q_{2}}{y^{2}}\right)\left[\frac{c^{4}\left(1-\frac{vu_{x}}{c^{2}}\right)}{\left(c^{2}-v^{2}\right)^{2}}\right]\end{aligned}$

, y despues de tanto llego a:



donde el asqueroso término $\dst \frac{c^{4}}{\left(c^{2}-v^{2}\right)^{2}}$ deberia ser igual a la unidad

S.O.S.

- - - Actualizado - - -

yo sabía que tenía que ponerme a hacer ociosidades para ver donde estaba el error!, mis ya averiadas conexiones neuronales estaban considerando $\gamma$ como $\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$, si corrijo entonces

$\dst \left(\frac{\gamma kq_{1}q_{2}}{y^{2}}\right)\left[\frac{c^{2}-vu_{x}}{\gamma^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)}\right]=\left(\frac{\gamma kq_{1}q_{2}}{y^{2}}\right)\left(\frac{c^{2}-vu_{x}}{\frac{c^{2}-v^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right)=\left(\frac{\gamma kq_{1}q_{2}}{y^{2}}\right)\left(\frac{c^{2}-vu_{x}}{\frac{c^{2}-v^{2}}{\frac{c^{2}-v^{2}}{c^{2}}}}\right)$

$\dst =\left(\frac{\gamma kq_{1}q_{2}}{y^{2}}\right)\left[\frac{c^{2}-vu_{x}}{\frac{c^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)}{c^{2}-v^{2}}}\right]=\left(\frac{\gamma kq_{1}q_{2}}{y^{2}}\right)\left(\frac{c^{2}-vu_{x}}{c^{2}}\right)$