1r ciclo Sobre el concepto de vector

[Weip]

Hola a todos, veréis, este curso he empezado la universidad, el grado de matemáticas, y la verdad es que tengo dos consultas que igual son preguntas tontas, pero no quiero quedarme con la duda por más tiempo:

1) Al principio de curso, nos definieron un vector como elemento de un espacio vectorial. A lo largo de los meses he hecho muchos ejercicios en los que he podido observar que objetos matemáticos como polinomios o sucesiones son elementos de espacios vectoriales. Ahí va mi pregunta: ¿un polinomio o una sucesión son vectores? La verdad es que suena mal, y desde luego un polinomio no tiene ni módulo ni dirección ni sentido. Pero coincide con la definición de vector y parece que la implicación es directa. ¿Alguien me podría aclarar este punto?

2) Dejando un poco a parte el tema, quiero preguntaros si la función valor absoluto y el módulo de un vector (o de un número complejo) son lo mismo. El caso es que por ejemplo haciendo números complejos los profesores usan los términos valor absoluto, módulo y norma de un número complejo como si fueran sinónimos. También está el tema de porqué lo llaman módulo si un número complejo no es un vector. ¿Es sencillamente un abuso del lenguaje o de verdad son lo mismo? Me he fijado que tienen muchas similitudes (tanto el módulo como el valor absoluto siempre son positivos, por ejemplo).

Agradecería que me dijeseis algo sobre estas ideas, he buscado mucho por internet pero no he encontrado ningún sitio que aclarara estos puntos oscuros del álgebra lineal.

Gracias por adelantado.

[angel relativamente]

Re: Sobre el concepto de vector

1) Al principio de curso, nos definieron un vector como elemento de un espacio vectorial. A lo largo de los meses he hecho muchos ejercicios en los que he podido observar que objetos matemáticos como polinomios o sucesiones son elementos de espacios vectoriales. Ahí va mi pregunta: ¿un polinomio o una sucesión son vectores? La verdad es que suena mal, y desde luego un polinomio no tiene ni módulo ni dirección ni sentido. Pero coincide con la definición de vector y parece que la implicación es directa. ¿Alguien me podría aclarar este punto?

Como dices un vector es un elemento de un espacio vectorial, simple y llanamente. El "vector de bachillerato", o el que se suele usar en Física, no es más que un elemento del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$. De los vectores de $\mathbb{R}^3$ tiene sentido hablar de módulo (norma), dirección y sentido, ya que tenemos definida una aplicación distancia y nos resulta muy útil por la analogía con el espacio tridimensional cotidiano. Pero para un espacio vectorial distinto de $\mathbb{R}^n$ no tiene sentido imaginarse los vectores como "flechas", al menos no como "flechas espaciales". Por ejemplo en el espacio vectorial de los polinomios a coeficientes reales $\mathbb{R}[X]$ del cual sabrás que una base es $\{ 1, x, x^2 , \cdots \}$, cualquier polinomio es un vector de este espacio. No obstante, si tu polinomio es de grado n, sabrás de álgebra que dos espacios vectoriales son isomorfos si y solo sí tienen la misma dimensión, por lo que puedes encontrar un isomorfismo $\phi$ que envíe polinomios de $\mathbb{R}_N[X]$ a vectores de $\mathbb{R}^{n+1}$, de forma que cada coeficiente del polinomio sea una componente del vector. Con esto puedes trabajar en componentes cartesianas con polinomios, matrices o lo que se te ocurra, y podrías hallarle la norma, la dirección y sentido (si estás en $\mathbb{R}^{3}$) aunque sea de muy poca utilidad.

2) Dejando un poco a parte el tema, quiero preguntaros si la función valor absoluto y el módulo de un vector (o de un número complejo) son lo mismo. El caso es que por ejemplo haciendo números complejos los profesores usan los términos valor absoluto, módulo y norma de un número complejo como si fueran sinónimos. También está el tema de porqué lo llaman módulo si un número complejo no es un vector. ¿Es sencillamente un abuso del lenguaje o de verdad son lo mismo? Me he fijado que tienen muchas similitudes (tanto el módulo como el valor absoluto siempre son positivos, por ejemplo).

Lo de valor absoluto quizá sí es un abuso de lenguaje. No es cierto, por ejemplo, que si $z$ es un complejo obtenga $z$ si $z>0$ y $-z$ si $z<0$ al tomarle el módulo. Primera de todas porque como sabrás los complejos no tienen orden así que ni tan siquiera tiene sentido la comparación. Lo de módulo o norma (que vienen a ser sinónimos) sería una expresión más correcta. No obstante, antes de preguntarte por qué tienen norma si no son vectores pregúntate por qué los solemos representar en un plano como si lo fueran, o incluso hablamos del argumento (ángulo que forman con el eje). La razón de nuevo reside en los isomorfismos. Se busca un isomorfismo $\phi$ entre $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}^2$ que lleve la parte real a la primera componente y la imaginaria a la segunda, y con eso ya puedes trabajar como si fuesen vectores del plano. Cuando quieras recuperar la información de número complejo aplicas $\phi^{-1}$ (que sabes que es biyectivo) y sin ningún problema.

Un saludo,

[Mossy]

Re: Sobre el concepto de vector

Vaya, yo también me había hecho estas preguntas, sobre todo la primera. En la asignatura de Integración de funciones nos hablaron un día de que las funciones Riemann-integrables sobre un intervalo [a,b], con la suma y el producto, forman un espacio vectorial sobre R. Y que, de hecho, la integral definida es una aplicación lineal entre los espacios vectoriales de las funciones Riemann-integrables y R. Realmente es difícil asociar funciones a vectores e integrales a matrices, pero como dice Ángel, es por las ideas que traemos de bachillerato (vectores como flechitas y eso).

[Weip]

Re: Sobre el concepto de vector

Muchas gracias Ángel, lo he entendido a la perfección y a la primera. Lo hubiera preguntado en clase pero como digo en mi primer mensaje, el razonamiento me parecía absolutamente incorrecto por el tema del módulo, dirección y sentido. De nuevo, ¡gracias!

[guibix]

Re: Sobre el concepto de vector

Buenas Weip

¿un polinomio o una sucesión son vectores? La verdad es que suena mal, y desde luego un polinomio no tiene ni módulo ni dirección ni sentido. Pero coincide con la definición de vector y parece que la implicación es directa. ¿Alguien me podría aclarar este punto?

Respecto a los polinimois nada que decir, Angel ya lo ha expuesto a la perfección.

De las sucesiones hay mucho que decir. Digamos que cualquier secesión de $n$ elementos puede tratarse como un vector en un espacio de dimensión $n,$ De hecho, en múltiples contextos se denotan los vectores como $a_i$. La definición de la norma en el cuerpo complejo queda como

$$||a_i||^2\equiv\sum_{i=1}^n a_i\bar{a_i}.$$

La norma y el valor absoluto pueden ser lo mismo. Pero en algunos casos no es así. Eso se ve claro cuando se pasa de una suseción a una función contínua. El índice discreto $i$ pasa a una variable contínua $x.$ La dimensión del espacio pasa a ser infinita.

$$||a_i||^2\equiv\sum_{i=1}^n \bar{a_i}a_i\Delta i.$$

$$i\to x, \Delta i\to dx, a_i\to f(x)$$

$$||f(x)||^2\equiv\int_{x_0}^{x_1} \bar{f}(x)f(x)\dd x$$

La norma o módulo siempre es un número. El valor absoluto aquí es otra función, no un número. Por eso se diferencia la norma con las barras dobles y el valor absoluto con barras simples. El valor absoluto en ese caso queda definido como

$$|f(x)|^2\equiv \bar{f}(x)f(x),$$

y por supuesto $||f(x)||\neq |f(x)|.$ Esto es la definición de un espacio de Hilbert que tiene toda el álgebra vectorial para cualquier dimensión. En el caso de espacios de funciones de dimensión infinita, a parte de la norma y el valor absoluto, también existe la noción de producto escalar y ángulos entre vectores. Usualmente se usa la notación de dirac para eso.

$$\left< f(x)|g(x) \right>=\int_{x_0}^{x_1} \bar{f}(x)g(x)\dd x,$$

$$\cos\angle_{fg}=\frac{\left< f(x)|g(x) \right>}{||f(x)||.||g(x)||}.$$

Saludos.