1r ciclo Partícula en una caja con función potencial

[sater]

Buenas. Haciendo ejercicios de cuántica me he topado con una duda, pongo el enunciado:



La verdad que nunca lo había hecho con una función potencial dentro y menos que dependa de x. El caso es que ademas me extraña que la función de onda no sea función propia del hamiltoniano, entonces no se si se debe a la potencial. Yo había pensado en hacer esto, pero dudo mucho que esté bien:
$\hat{H} \psi (x) + U(x) \psi (x) = E \psi (x)$ con $\hat{H}=-\dfrac{h^2}{8{\pi}^{2} m} \dfrac{{\partial}^{2}}{\partial x^2}$.
Si no me equivoco, el termino del hamiltoniano aplicado a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] sería la energía cinética y el otro la potencial, y su suma la total, que queda en función de x cosa que no me gusta.
La verdad que estoy perdido, gracias de antemano

[arivasm]

Re: Partícula en una caja con función potencial

Si no recuerdo mal, es una técnica aproximada que se utiliza a veces en Química: se "prueba" una función de onda, aún a sabiendas de que no es exactamente una función propia del hamiltoniano. La energía correspondiente se puede obtener del siguiente modo: como $\hat H |\psi> = E |\psi>$ entonces $<\psi|\hat H|\psi> = E <\psi|\psi>$, es decir, en este caso $\dst E=\frac{\int_{-L}^L \psi \hat H \psi \dd x}{\int_{-L}^L \psi\psi \dd x}$.

En la técnica a la que me refiero se suelen incluir parámetros en la función de onda, que luego se determinan con condiciones adicionales, como por ejemplo que hagan mínima la energía del estado. En este caso no sucede así.

[sater]

Re: Partícula en una caja con función potencial

Es cierto, esto lo hice en la asignatura de química. Mañana pruebo a ver, gracias!

[Marce_]

Re: Partícula en una caja con función potencial

Permiso.., vengo a desasnarme.


Si mis cálculos son correctos, $\dst \psi (x)$ es autofunción del hamiltoniano. Creo que ibas por el camino correcto sater. Si E te quedaba en función de x, quizás te pasó lo mismo que a mi que estuve 1 hora sin darme cuenta que me faltaba multiplicar a U(x) por $\dst \psi (x)$ .

$$H = K + U \ .$$

$$\hat{H} = \hat{K} + \hat{U} \ .$$

$$\hat{H} = \dfrac{-\hbar^2}{2m} \nabla^{2} + U(x) \ .$$

$$\hat{H} \psi (x) = \dfrac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x) + U(x) \psi (x) = \dfrac{\hbar^2 A}{mL^2} - \dfrac{\hbar^2 x^2 A}{mL^4}= \overbrace{\dfrac{\hbar^2}{mL^2}}^{E} \underbrace{ A \left(1-\dfrac{x^2}{L^2}\right)}_{\psi(x)} \ .$$

Para comparar resultados, el apartado b) me dió $\dst A= \dfrac{\sqrt{15}}{4 \sqrt{L}}$ y el apartado c) $\approx 0.5802$.

Un abrazo.-

[sater]

Re: Partícula en una caja con función potencial

Muchas gracias, pinta muy bien la verdad, pero entonces no entiendo una cosa, si la función de onda no es propia del hamiltoniano, ¿por qué se puede obtener la energía analíticamente?

[arivasm]

Re: Partícula en una caja con función potencial

La verdad es que no verifiqué si era o no función propia, sino que di por buena tu afirmación.

Tiene razón Marce_, y claro que es una función propia: como bien ha escrito (copio su expresión, a la que añado un final) $\dst \hat{H} \psi (x) = \dfrac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(x) + U(x) \psi (x) = \dfrac{\hbar^2 A}{mL^2} - \dfrac{\hbar^2 x^2 A}{mL^4}= \overbrace{\dfrac{\hbar^2}{mL^2}}^{E} \underbrace{ A \left(1-\dfrac{x^2}{L^2}\right)}_{\psi(x)}=E\psi(x)$

De todos modos, lo que comenté en mi post $E=<\psi|\hat H\psi>/<\psi|\psi>$ es igualmente válido, aunque en este caso se vuelva muy obvio que $\dst <\psi|\hat H|\psi>=\frac{\hbar}{mL^2}<\psi|\psi>$