1r ciclo Ecuación números complejos.

[azerbayan]

Buenas, me piden encontrar las raices de la ecuación z⁶+7z³-8=0.
He intentado con rufini pero no me sale, a ver si me podeis ayudar.
Gracias, un saudo.

[gdonoso94]

Re: Ecuación números complejos.

Haz $z^3=t$ y prueba de nuevo .

Un saludo.

[azerbayan]

Re: Ecuación números complejos.

Vale ahora si jajja, gracias gdonoso. Un saludo.

[Marce_]

Re: Ecuación números complejos.

Permiso, vengo a emitir un bocadillo. Probablemente ya lo sepas (en ese caso, mis disculpas por ser redundante), pero en caso de que no te acuerdes, bienvenido sea, así no cometes los mismos errores que yo cometí alguna vez.


Generalmente al trabajar con polinomios complejos (y con funciones complejas también), se suele definir una rama de trabajo para el argumento de z. En el caso de los polinomios tiene que ver con que las raíces elegidas no lleguen a dar más de una vuelta en la circunferencia compleja asociada. En el caso de las funciones, tiene que ver más con el dominio de holomorfía o analiticidad.


Una de las ramas más utilizadas (pero no la única) es:

$$0\leq \theta_{z} <2\pi$$

Con el cambio de variable que te sugirió oportunamente gdonoso94, sale automáticamente que:

$$t_1= 1 \quad , \quad t_2=-8$$

Tomando la primera raiz:

$$1e^{i0}= z^3$$

Escribiendo a z como $\dst z = \rho e^{i\theta}$ tenemos:

$$1e^{i0}=\rho^{3} e^{i3\theta}$$

Y acá entra en juego la igualdad de complejos:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Entonces, para $\dst t_1$, tenemos las siguientes raíces:

$$\begin{aligned}<br /> z_{1} &= 1 \\<br /> z_{2} &= 1 e^{i\frac{2}{3} \pi} \\<br /> z_{3} &= 1 e^{i\frac{4}{3} \pi}<br /> \end{aligned}$$

Tomando la segunda raíz:

$$8e^{i\pi}= z^3$$

$$8e^{i\pi}=\rho^{3} e^{i3\theta}$$

Entonces:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Entonces, para $\dst t_2$:

$$\begin{aligned}<br /> z_{4} &= 2 e^{i\frac{\pi}{3} \pi} \\<br /> z_{5} &= 2 e^{i\pi} \\<br /> z_{6} &= 2 e^{i\frac{5}{3} \pi}<br /> \end{aligned}$$

Y tenemos seis raíces distintas en este caso, y todas contenidas en la rama deseada. En caso de que algún argumento se haya pasado de la rama (como ser por ejemplo $\dst \frac{7}{2} \pi$), lo llevamos a nuestra rama, donde el mismo sería $\dst \frac{3}{2} \pi$. En general $\dst k$ variará entre [0,n-1], siendo n el grado del polinomio asociado.



Un abrazo.-