Secundaria Sobre ecuación con radicales

[eduardo2384]

Saludos amigos, quisiera sus sugerencias para resolver éste ejercicio:

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Hallar el valor de $x$ en:

$a(x+b)=x+\sqrt[3]{xb^2}-\sqrt[3]{x^2b}$







Posibles respuestas:

a) $\dfrac{b}{1-a^3}$

b) $\dfrac{b^3}{(1-a)^2}$

c) $\dfrac{a^3b}{(1-a)^2}$

d)$\dfrac{a^3b}{(1-a)^3}$

e)$\dfrac{a-b}{(a+b)^3}$


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Intenté dejar solas las raíces cúbicas para elevar al cubo pero se me hace muy grande como para factorizar.

Gracias!

[teclado]

Re: Sobre ecuación con radicales

La verdad es que aún elevando al cubo no consigo aislar algo mínimamente resoluble (me siguen quedando raíces). Sin embargo sustituyendo verás que la respuesta es la d) ($\frac{a^3b}{(1-a)^3}$).

[hoja en blanco]

Re: Sobre ecuación con radicales

Hola eduardo 2384,
Tengo una pequeña idea, pero seguro hay un método mejor.
Hacemos el cambio de variable $x=y^3$ y $b=c^3.$ Con esto la ecuación queda
$ay^3+ac^3=y^3+yc^2-y^2c$
esto es
$(a-1)y^3+cy^2-c^2y+ac^3=0$
Vamos con Ruffini. En este caso, suele funcionar (hay varios lemas que lo apoyan) el probar con un divisor del término independiente partido por el coeficiente que acompaña a la incógnita con mayor grado. Hay varios divisores de $ac^3$ triviales, pero seamos pícaros. Mira las opciones. Estas expresiones estan preparadas (si no, es una locura). Me he fijado enseguida en la d), por la manera como aparecen términos elevados al cubo. Elijo como divisor de $ac^3$el $ac$. Entonces pruebo Ruffini con $\frac{ac}{a-1}$. Si haces Ruffini con este valor de $y$, sale con unos cálculos muy sencillos que es raíz del polinomio cúbico anterior.
A través de las relaciones entre $x$ e $y$ y $b$ y $c$ traducimos para redescubrir la opción d).
No es un método muy elegante, pero es rápido si tienes vista.
Saludos

[angel relativamente]

Re: Sobre ecuación con radicales

Quizá teniendo en cuenta que $(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{b})^3=x+\sqrt[3]{xb^2}-\sqrt[3]{x^2b}-b$ te ayude a llegar a algo.