Primaria Un problema muy elemental

[Visitante]

Este es un problema muy elemental que no se explicar porque....

$\dst{(-1)^1\neq ((-1)^2)^\frac{1}{2}}$

Siempre me han explicado que 1=2*(1/2)=(2/2)=1
Es alguna propiedad de la exponenciación?
Un saludo.

[visitante20160513]

Re: Un problema muy elemental

¿Tienes conocimientos de variable compleja? Cuando estudies los números complejos en profundidad entenderás el porqué de esas caprichosas igualdades que se obtienen manejando expresiones de ese tipo, hay muchos ejemplos que se podrían poner, pero todos tienen una explicación adecuada. Sin conocimientos suficientes lo que te digamos te va a dejar un poco frío. Lo mejor que puedes hacer mientras tanto es procurar evitar hacer cálculos usando potencias y exponenciales con base negativa. No suele ser una buena idea por lo imprevisto de los resultados, como por ejemplo el que muestras aquí. El problema que planteas no es tan elemental como podría parecer, es algo que suele confundir a muchos profanos, y a veces a gente con conocimientos avanzados, no te dejes engañar, todo esto tiene una explicación lógica, pero en matemática conviene ir paso a paso y no precipitar los acontecimientos.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: Un problema muy elemental

Porque en el caso de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , primero haces $(-1)^2$ y luego elevas el resultado a $1/2$. Es cuestión de orden de operaciones.

[angel relativamente]

Re: Un problema muy elemental

Es que esa propiedad de que "exponente de exponente es producto de exponentes" sencillamente no es cierta en general. Un ejemplo más básico sin recurrir a ningún complejo: $((-2)^2)^{1/2}=(2^2)^{1/2}$ es cierto pero claramente $2^1=-2^1$ no lo es.

Simplemente tiene que ver con que la función cuadrática no es inyectiva.

Un saludo,

[Visitante]

Re: Un problema muy elemental

De acuerdo.
- ´´Exponente de exponente no es producto de exponentes´´ en números unidimensionales.
- Pero si Jabato tiene un momentito y me puede explicar como se
traduce la desigualdad de mi mensaje anterior en el entorno de
los numeros complejos se lo agradeceria.

No estoy seguro pero creo que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

SI funciona.
Gracias y un saludo.

[Marce_]

Re: Un problema muy elemental

Hola!


La esencia del problema en reales ya la dijo Angel. La acción de elevar ambos miembros de una ecuación a una potencia par induce a obtener soluciones extrañas. Desde el punto de vista de los complejos, el problema es la igualdad de los mismos, que hace que $\dst \sqrt{z^{2}}$ tenga dos soluciones distintas en el dominio dado por la rama (por ejemplo) $\dst 0\leq \theta< 2\pi$, lo cuál en este caso sería dentro del círculo unitario sin dar una vuelta completa (sin repetir raíces).


En complejos se diferencia lo que es la potenciación de la radicación (la radicación se define a partir de la potenciación). Sea $\dst z= \rho \ee^{i \theta}$:

$$\Rightarrow -1= 1\ee^{i\pi}$$

$$(-1)^2 \underbrace{=}_{\text{rta unica}} 1^{2} \ee^{2i\pi} \overbrace{=}^{\text{rama del argumento elegida}} 1 \ee^{i0}$$

$$\sqrt{z^{2}}= w \Longleftrightarrow w^{2} = z^{2} = 1 \ee^{i0}$$

Entonces:

$$\gamma^{2} \ee^{i 2 \alpha} = 1 \ee^{i0}$$

Por igualdad de complejos:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Las raíces son:

$$\begin{aligned}<br /> w_{0} &= 1 \ee^{i0}= 1 \\<br /> w_{1} &= 1 e^{i \pi} = -1 <br /> \end{aligned}$$

Por eso se dice que $\dst \sqrt{z^{2}} \neq z$. O más general aún: $\dst \sqrt[n]{z^{m}} \neq \left(\sqrt[n]{z}\right)^{m}$


Un abrazo.-

[Visitante]

Re: Un problema muy elemental

Perdon. No se si me he equivocado o no estamos hablando de lo mismo.
Pero, a mi me sale que:
En numeros complejos, exponente complejo de exponente complejo SI es
producto de exponentes complejos...

Por ejemplo:

$\dst{(4+3i)^{(1+0i)}=((4+3i)^{(1+2i)})^{(0.2-0.4i)}=(4+3i)}$

$\dst{(4+3i)^{(1+0i)}=((4+3i)^{(0.2-0.4i)})^{(1+2i)}=(4+3i)}$

$\dst{(1+2i) (0.2-0.4i)=(1+0i)}$

Gracias y un saludo.

[Marce_]

Re: Un problema muy elemental

El problema es que un complejo (distinto de cero) elevado a otro complejo, da como resultado general infinitos complejos (si, es realmente poco intuitivo). La acción de elevar un complejo a la "uno" es un caso particular en el que la respuesta si es única y es coherente con el resultado que se obtiene operando en los reales.


La acción de elevar un complejo a otro complejo se define como:

$$z_{1}^{z_{2}} = \ee^{z_{2} \ln(z_{1})} \quad , \quad z_{1} \neq 0$$

Elijamos por ejemplo $\dst z_{1} = i$ y $\dst z_{2} = 1-i$:

$$i^{1-i}= \ee^{(1-i)\ln(i)} = \ee^{(1-i) [ln(1) + i (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)]}$$

$$= \ee^{i(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} \cdot \ee^{(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} = \ee^{i( \frac{\pi}{2})} \cdot \ee^{(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)}$$

Lo cuál da infitos complejos que difieren en módulo, todos sobre el eje imaginario.


Si hacemos $\dst z_{2} = 1$ :

$$i^{1}= \ee^{\ln(i)} = \ee^{[ln(1) + i (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)]}$$

$$= \underbrace{\ee^{0}}_{=1} \cdot \ee^{i(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)}= 1\ee^{i( \frac{\pi}{2})} = i$$

Un abrazo.-

[visitante20160513]

Re: Un problema muy elemental

No entiendo que es lo que quieres que te diga, creo que ya te han explicado más de lo que necesitas saber, si con lo que te han dicho sigues teniendo dudas por mucho que yo te aclare seguirás teniéndolas, y eso es porque no tienes claras las operaciones matemáticas que se hacen con los números complejos.

[Visitante]

Re: Un problema muy elemental

Gracias. SI, no tengo claras las operaciones con complejos.
Me da la impresión que estoy usando solo la solución con k=0 y aquí hay
infinitas * infinitas soluciones.
Voy a comprobar si la solución con k =1 funciona.
Un saludo.

[arivasm]

Re: Un problema muy elemental

Perdonad que aporte, pues creo que lo esencial ya está dicho. Sólo es por aclarar a nuestro amigo FPVI que en realidad ya está acostumbrado a que una potencia no entera no sea única, pues de toda la vida escribimos eso de $\sqrt{4}=\pm 2$. En esencia, en su pregunta inicial sucede lo mismo: $((-1)^2)^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}=\pm 1$.

[Marce_]

Re: Un problema muy elemental

Perdonad que aporte, pues creo que lo esencial ya está dicho. Sólo es por aclarar a nuestro amigo FPVI que en realidad ya está acostumbrado a que una potencia no entera no sea única, pues de toda la vida escribimos eso de $\sqrt{4}=\pm 2$. En esencia, en su pregunta inicial sucede lo mismo: $((-1)^2)^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}=\pm 1$.

Más claro imposible. Aunque sinceramente me provoca un nudo en el estomago ver el (-) sin recurrir a los complejos, es lisa y llanamente la definición de la raíz cuadrada o raíces pares.

$$\sqrt{1} = x \Longleftrightarrow x^2 = 1$$

Y no se va el nudo eh!.

Un abrazo.

[Visitante]

Re: Un problema muy elemental

Lo siento. Debo ser un poco corto de entendimiento pero:

En numeros complejos:

$\dst{(4+3i)^{(1+0i)}=((4+3i)^{(1+2i)})^{(0.2-0.4i)}=(4+3i)}$

$\dst{(4+3i)^{(1+0i)}=((4+3i)^{(0.2-0.4i)})^{(1+2i)}=(4+3i)}$

sale bien tanto con k=0 como con k=1 y me supongo que saldrá bien
para k>1.

Pero en numeros enteros, reales, ´unidimensionales´:

$\dst{((-1)^2)^{0.5}=\pm 1}$

$\dst{((-1)^{0.5})^2=- 1}$

No sale bien...
Gracias. Un saludo.

[visitante20160513]

Re: Un problema muy elemental

En los números reales $(-1)^{0.5}$ no tiene solución. No es una operación aceptable.

[arivasm]

Re: Un problema muy elemental

Y en complejos también se cumple que $\sqrt{-1}=\pm i$. Aunque es común escribir $i=\sqrt{-1}$ no deja de ser un recordatorio del origen de $i$, pues tanto se cumple que $i^2=-1$ como que $(-i)^2=-1$