2o ciclo Problema de vibraciones y ondas

[csanqu1]

Hola buenos días , ante nada agradecer a todos siempre por vuestra ayuda y orientación estoy revisando un problema de examen de años anteriores y la verdad es que el enunciado me despista un poco y no se bien por donde meterle mano , el problema dice lo siguiente :


La cuerda de un alpinista esta formada por una colección de N cuerdas elásticas muy finas envueltas en una funda textil. Se sabe que cada cuerdecilla tiene una constante elástica k. Como consecuencia del uso, algunas cuerdecillas se han roto , pero no sabemos cuántas. Para calcular el número de cuerdecillas rotas medimos el periodo T de una masa m colgada del extremo de la cuerda vertical cuando se mueve con pequeñas oscilaciones verticales. Dar la expresión del número de cuerdas rotas en función del periodo.


Creo que la cosa va considerar a la cuerda como N muelles en paralelos pero como expreso el numero de cuerdas en función del periodo??

Gracias y un cordial saludo .

[teclado]

Re: Problema de vibraciones y ondas

La constante del muelle equivalente será $nk$, siendo $n$ el número de cuerdas intactas. Sólo tienes que usar esa constante en la fórmula del periodo y despejar $n$. El número de cuerdas rotas no es más que $n_R=N-n$.

[MrM]

Re: Problema de vibraciones y ondas

Hola buenos días , ante nada agradecer a todos siempre por vuestra ayuda y orientación estoy revisando un problema de examen de años anteriores y la verdad es que el enunciado me despista un poco y no se bien por donde meterle mano , el problema dice lo siguiente :


La cuerda de un alpinista esta formada por una colección de N cuerdas elásticas muy finas envueltas en una funda textil. Se sabe que cada cuerdecilla tiene una constante elástica k. Como consecuencia del uso, algunas cuerdecillas se han roto , pero no sabemos cuántas. Para calcular el número de cuerdecillas rotas medimos el periodo T de una masa m colgada del extremo de la cuerda vertical cuando se mueve con pequeñas oscilaciones verticales. Dar la expresión del número de cuerdas rotas en función del periodo.


Creo que la cosa va considerar a la cuerda como N muelles en paralelos pero como expreso el numero de cuerdas en función del periodo??

Gracias y un cordial saludo .

Veamos... en un MVAS tenemos que $x=Asen \omega t$
$v=A\omega cos \omega t$
$a=-A {\omega }^{2}sen \omega t=-x{\omega}^{2}$
(ignora esta parte, simplemente la necesitaba para calcular la fórmula de la aceleración... es que no me aprendo las fórmulas de memoria, aprendo a deducirlas :P)

Como F=ma=-kx, nos queda que $mx{\omega}^{2}=kx \rightarrow \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \rightarrow \frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}} \rightarrow T= 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ ¿Qué pasa? Pues que la masa total se divide entre el número de curdas que la están sujetando (ten en cuenta que el período medido es de cada cuerda individualmente, no del conjunto de cuerdas). Por lo tanto, la masa que debemos poner en la ecuación no es m, sino $\frac{m}{N'}$, siendo N' el número de cuerdas que aún no se han roto. Por lo tanto, tendríamos $T=2\pi \sqrt{\frac{\frac{m}{N}}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{N'k}}$. Despejando N', nos queda [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Como N' es el número de cuerdas que aún no están rotas, el número de cuerdas rotas será $N_r=N-N'=N-\frac{4m{\pi}^{2}}{k{T}^{2}}$.

PD: todo esto está basado en la premisa de que la fuerza total (y por tanto la masa) se reparte en partes iguales entre todas las cuerdas. Por lo que he estudiado, esto se cumple en este caso, pero también es verdad que yo acabo de terminar bachillerato, así que si en la carrera se da algún teorema que demuestre que en esta situación la masa no se divide en partes iguales entre todas las cuerdas mi respuesta es errónea xD

Edito: ahora que leo la respuesta del compañero de arriba, veo que ambos llegamos al mismo sitio, solo que yo he dado muchas más vueltas para llegar ahí. En cualquier caso, uses el método que uses la clave reside en que, donde normalmente se pone k, en este caso se pondría N'k (te recomiendo el método de teclado, pues como verás, si lo haces como yo tardas mucho más en llegar a la expresión $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{N'k}}$, en cambio lo si lo haces como ha dicho teclado partes directamente de esa expresión).

Un saludo.

[csanqu1]

Re: Problema de vibraciones y ondas

Muchas gracias , a veces en las cosas más simple nos liamos