1r ciclo Sobre el concepto de aplicación lineal

[Weip]

Hola a todos. Desde ya hace unos meses tengo una duda que me inquieta sobre las aplicaciones lineales. Yo siempre he tenido en la cabeza una idea intuitiva de aplicación lineal, básicamente que $f(x)$ significa que cojo un elemento $x$, y lo sustituyo en la expresión general. Es decir, si $f(x)=x^2$, pues $f(2)=4$, sustituyo el $2$ en la $x$ y ya está. Todo esto me sirvió hasta el día que en clase vimos los espacios duales. A mi me definieron una base dual de la siguiente forma (omito parte de la definición rigurosa, es que solo me interesa la expresión):

$f_i(e_j)=\delta_{ij}$

$\delta_{ij}$ es la delat de Kronecker. Yo me pensaba que eso era una simple aplicación, pero resultó ser un producto escalar entre los vectores $f_i$ y $e_j$. Aquí fue cuando me planteé ¿qué significa de verdad la expresión $f(x)$? Empecé a ver que si trataba las aplicaciones como productos escalares entre los vectores $f$ y $x$, podía llegar a los mismos resultados que suponiendo que era solo notación, y que en verdad sustituyo la $x$ por lo que sea.

Mi confusión se agravó cuando tocaba "aplicar" una aplicación en un vector. Mi profesora directamente multiplicaba la matriz asociada a la aplicación por el vector. Yo sé que $f(x)=Ax$, $x$ es un vector y $A$ es la matriz asociada a $f$. Pero, es cierto que ¿$f=A$? ¿O solo es una forma de hablar? Tengo entendido que eso no es cierto, pero por si acaso.

Resumiendo, tengo claro que $f$ y $x$ son vectores, pero ¿$f(x)$ es un producto escalar entre $f$ y $x$? Si la respuesta es no, ¿porqué se usa la misma notación en la base dual si son cosas distintas?

Gracias por adelantado.

[jinawee]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

Voy a intentar responderte, aunque no sea con el rigor necesario.


En primer lugar, un pequeño comentario, $f(x)=x^2$ no es una aplicación lineal. Es una aplicación, pero no lineal.

$f_i(e_j)=\delta_{ij}$ Yo me pensaba que eso era una simple aplicación, pero resultó ser un producto escalar entre los vectores $f_i$ y $e_j$.

Tienes razón. El producto vectorial es una aplicación bilineal a un cuerpo, es decir, VxW[FONT=arial]→[/FONT]K (el cuerpo K normalmente es los reales). Pero la fórmula que has escrito arriba no es un producto escalar (lo es en la mayoría de los casos, pero no tiene por qué). Para ello hay que examinar qué es un espacio dual.

Un espacio dual V* es el conjunto de aplicaciones lineales que van de un espacio vectorial V a un cuerpo K (V*: V[FONT=arial]→[/FONT]K). Entonces puedes ver cómo $f_i(e_j)=\delta_{ij}$ significa que f se "come" un vector y devuelve un número. No aparece por ningún lado la definición de producto escalar y muchas veces podemos vivir tan tranquilos sin ella.

Ahora bien, podemos ver que si aplicamos un vector dual sobre un vector (usando la fórmula de arriba), obtenemos un escalar. Entonces, si hubiese alguna forma de convertir vectores duales en vectores "a secas", obtendríamos una aplicación que envía dos vectores a un cuerpo. ¡Esto es justamente la definición de producto escalar!

En el caso que te habrán explicado, la correspondencia entre vectores duales y vectores siempre se puede hacer. En términos matriciales, si tienes un vector columna su dual es un vector fila y vice versa.

Por otra parte no me gusta usar $f$ para denotar vectores duales, pues son aplicaciones que van a un cuerpo. Mientras que las aplicaciones pueden ir a un espacio vectorial cualquiera. Esto me lleva al siguiente apartado de tu pregunta.

Empecé a ver que si trataba las aplicaciones como productos escalares entre los vectores f y x, podía llegar a los mismos resultados que suponiendo que era solo notación, y que en verdad sustituyo la x por lo que sea.

Puesto que las aplicaciones pueden ir a un espacio vectorial y el producto escalar solo a un cuerpo, no se puede suponer que f(x) es un producto escalar. SALVO que f sea una aplicación lineal que vaya a un cuerpo. Entonces, f será un vector dual y será posible en algunos casos identificarlo con un vector. En tal caso, podríamos ver f(x) como un producto escalar.

Ahora no tengo tiempo, pero luego te respondo al resto (salvo que lo haga otro).

[Weip]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

Voy a intentar responderte, aunque no sea con el rigor necesario.


En primer lugar, un pequeño comentario, $f(x)=x^2$ no es una aplicación lineal. Es una aplicación, pero no lineal.





Tienes razón. El producto vectorial es una aplicación bilineal a un cuerpo, es decir, VxW[FONT=arial]→[/FONT]K (el cuerpo K normalmente es los reales). Pero la fórmula que has escrito arriba no es un producto escalar (lo es en la mayoría de los casos, pero no tiene por qué). Para ello hay que examinar qué es un espacio dual.

Un espacio dual V* es el conjunto de aplicaciones lineales que van de un espacio vectorial V a un cuerpo K (V*: V[FONT=arial]→[/FONT]K). Entonces puedes ver cómo $f_i(e_j)=\delta_{ij}$ significa que f se "come" un vector y devuelve un número. No aparece por ningún lado la definición de producto escalar y muchas veces podemos vivir tan tranquilos sin ella.

Ahora bien, podemos ver que si aplicamos un vector dual sobre un vector (usando la fórmula de arriba), obtenemos un escalar. Entonces, si hubiese alguna forma de convertir vectores duales en vectores "a secas", obtendríamos una aplicación que envía dos vectores a un cuerpo. ¡Esto es justamente la definición de producto escalar!

En el caso que te habrán explicado, la correspondencia entre vectores duales y vectores siempre se puede hacer. En términos matriciales, si tienes un vector columna su dual es un vector fila y vice versa.

Por otra parte no me gusta usar $f$ para denotar vectores duales, pues son aplicaciones que van a un cuerpo. Mientras que las aplicaciones pueden ir a un espacio vectorial cualquiera. Esto me lleva al siguiente apartado de tu pregunta.



Puesto que las aplicaciones pueden ir a un espacio vectorial y el producto escalar solo a un cuerpo, no se puede suponer que f(x) es un producto escalar. SALVO que f sea una aplicación lineal que vaya a un cuerpo. Entonces, f será un vector dual y será posible en algunos casos identificarlo con un vector. En tal caso, podríamos ver f(x) como un producto escalar.

Ahora no tengo tiempo, pero luego te respondo al resto (salvo que lo haga otro).

Primero de todo, es cierto, $f(x)=x^2$ no es lineal. Es que al principio quería hablar de aplicaciones que no tuvieran que ser lineales, pero luego he decidido enfocarlo de otra forma y se me ha quedado el ejemplo jajaja.

Por otro lado, me has dicho que ese producto no tiene porqué ser un producto escalar. ¿Me podrías poner un ejemplo? Todos los ejercicios que he hecho hasta ahora solo involucraban vectores, ¿si involucrasen matrices la cosa cambiaría no? ¿Van por ahí los tiros?

Gracias por responder.

[jinawee]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

Pues la verdad no sé cuál puede ser un ejemplo, seguramente haya que irse a espacios vectoriales de dimensión infinita (pues es ahí donde el espacio dual vectorial puede no ser isomorfo a un espacio vectorial, pero no he estudiado álgebra lineal en tanta profundidad). En términos matemáticos habría que buscar ejemplos dónde no exista el isomorfismo canónico/musical.

Para completar mi respuesta anterior, habría que aclarar qué se entiende por vector. Para mí vector es aquello que satisfaga los axiomas necesarios: un polinomio o lo que sea. Si con vectores te refieres a tuplas de números en los reales, entonces es correcto pensar que una aplicación lineal es una matriz. Básicamente porque una tupla se puede expresar como matriz nx1.

Ahora que me doy cuenta, un producto escalar es del tipo VxV[FONT=arial]→[/FONT]K, no VxW[FONT=arial]→[/FONT]K . En el ejemplo que pones de f(x)=Ax, f es una aplicación lineal, no un vector dual (pues supongo que por matriz no te refieres a una matriz 1xn, que sería el dual) ni tampoco un vector del mismo tipo que x. Luego no puedes decir que eso es un producto escalar.

Mi notación preferida sería algo como: f,g,h... o mayúsculas para aplicaciones cualquiera, los vectores con letras finales del abecedario y el producto escalar < , >. De tal forma que: <w,v> es el producto escalar de los vectores "a secas" w y v, w(v) es aplicar el vector dual w sobre v y f(v) el valor de la aplicación evaluada en v.

No sé si habrá quedado demasiado confuso.

Si quieres ver la relación con la relatividad especial , el segundo capítulo de "A First Course in General Relativity" de Schutz puede resultarte interesante.

[Weip]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

Para completar mi respuesta anterior, habría que aclarar qué se entiende por vector. Para mí vector es aquello que satisfaga los axiomas necesarios: un polinomio o lo que sea. Si con vectores te refieres a tuplas de números en los reales, entonces es correcto pensar que una aplicación lineal es una matriz. Básicamente porque una tupla se puede expresar como matriz nx1.

Entiendo por vector un elemento de un espacio vectorial. Es cierto que me he referido a las tuplas como vectores para diferenciar las tuplas de las matrices, pero cuando digo que $f$ es un vector me refiero a que pertenece a un espacio vectorial (no me importa que objeto concreto sea: si una matriz, si un polinomio...). Si me he de referir a una tupla tendré cuidado de especificar de qué estoy hablando. A lo que me refería en el anterior mensaje es que me han enseñado este tema con tuplas, y no con otras posibles construcciones que no sé si son posibles en el espacio dual. Aún sigo con la duda de esto último, ¿yo puedo encontrar el dual de un espacio de matrices? ¿podría usar la definición de base dual sin problemas?

Con la expresión $f(x)=Ax$ también considero que $A$ sea solo una fila también. O un escalar, lo que tenga que ser para que $f(x)=Ax$ tenga sentido.

Gracias por esa última referencia, la verdad es que de las aplicaciones a la física del álgebra lineal no he visto casi nada, más que nada porque se complica mucho la cosa por la parte física.

[Rodri]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

... me han enseñado este tema con tuplas, y no con otras posibles construcciones que no sé si son posibles en el espacio dual.

Todo espacio vectorial V de dimensión N sobre un cuerpo K es isomorfo a la tupla K^N

Entonces toda aplicación lineal V --> K es representable de forma única por una matriz de dimensiones 1xN. No hace falta buscar "otras" construcciones, que si las hay, serían reducibles a esta.

.Aún sigo con la duda de esto último, ¿yo puedo encontrar el dual de un espacio de matrices? ¿podría usar la definición de base dual sin problemas?

La respuesta es sí a ambas preguntas. Puesto que las matrices de dimensiones MxN son un espacio vectorial de dimensión MxN podemos aplicar todos los conceptos de un espacio vectorial, incluyendo el de espacio dual.
Lo que pasa es que "operativamente" para usar la representación matricial de las aplicaciones que forman ese espacio dual, habría que convertir previamente cada matriz a un vector columna para poder así definir las aplicaciones duales como vectores fila.

[Weip]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

Lo que pasa es que "operativamente" para usar la representación matricial de las aplicaciones que forman ese espacio dual, habría que convertir previamente cada matriz a un vector columna para poder así definir las aplicaciones duales como vectores fila.

¿Y como se haría esa conversión? ¿Definiendo alguna aplicación que "desmonte" la matriz? (Igual estoy preguntando una tontería, pero es que nunca he hecho nada así).

[Rodri]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

¿Y como se haría esa conversión? ¿Definiendo alguna aplicación que "desmonte" la matriz? (Igual estoy preguntando una tontería, pero es que nunca he hecho nada así).

Por ejemplo, para matrices reales de 2x2, la matriz

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

la representamos como


$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$

[Weip]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

Por ejemplo, para matrices reales de 2x2, la matriz

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

la representamos como


$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$

Ah, ¿así de simple? No sé, creía que para hacer eso primero tendría que definir alguna aplicación que me lo hiciera. ¿Una matriz 2x2 se puede representar como un vector (columna) de cuatro componentes? ¿Son descripciones equivalentes?

[Rodri]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

Ah, ¿así de simple? No sé, creía que para hacer eso primero tendría que definir alguna aplicación que me lo hiciera.

Esa aplicación (biyectiva) es la que yo acabo de definir en mi post anterior ¿o no te parece que es una aplicación?

Una matriz 2x2 se puede representar como un vector (columna) de cuatro componentes? ¿Son descripciones equivalentes?

Sí. También un polinomio de tercer grado con coeficientes reales puede representarse como un vector columna de cuatro componentes...

Es lo que tiene estructura de espacio vectorial.

En espacio vectorial es un concepto abstracto que podemos aplicar a muchos objetos matemáticos concretos como matrices, polinomios, funciones, etc.
Repito que un espacio vectorial de dimensión N sobre el cuerpo K es isomorfo a la tupla K^N. No importa quiénes sean los elementos de la tupla: pueden ser los elementos de una matriz o los coeficientes de un polinomio o cualquier otra cosa... desde el momento en que los tratamos como vectores sabemos que les podemos aplicar todos los conceptos del álgebra lineal.

[Weip]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

Esa aplicación (biyectiva) es la que yo acabo de definir en mi post anterior ¿o no te parece que es una aplicación?




Sí. También un polinomio de tercer grado con coeficientes reales puede representarse como un vector columna de cuatro componentes...

Es lo que tiene estructura de espacio vectorial.

En espacio vectorial es un concepto abstracto que podemos aplicar a muchos objetos matemáticos concretos como matrices, polinomios, funciones, etc.
Repito que un espacio vectorial de dimensión N sobre el cuerpo K es isomorfo a la tupla K^N. No importa quiénes sean los elementos de la tupla: pueden ser los elementos de una matriz o los coeficientes de un polinomio o cualquier otra cosa... desde el momento en que los tratamos como vectores sabemos que les podemos aplicar todos los conceptos del álgebra lineal.

Ah vale, bueno tal como lo has puesto es que no lo parecía. Sé que muchos objetos matemáticos se pueden tratar como tuplas (polinomios por ejemplo), pero no sé, yo diría que son descripciones equivalentes. No sé hasta que punto puedo abusar del lenguaje y tratar un polinomio como una tupla como si fuesen iguales. Que a la práctica dará igual, pero no veo que sean los mismos objetos matemáticos. Supongo que es lo que me dices de la estructura de espacio vectorial. En todo caso, lo he entendido, gracias por responder.

[gdonoso94]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

Me gustaría añadir que el orden que ha utilizado Rodri es siempre que definas la aplicación en la base canónica. En cualquier otra base no tiene por qué ser así.

Saludos.

[Weip]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

Gracias gdonoso, cuando no lo ha dicho me lo he supuesto.

A ver que me aclare, si he entendido bien:

1-$f(x)$ no denota un producto escalar, nunca.

2-$f_i(e_j)=\delta_{ij}$ sí es un producto escalar, el paréntesis en simple notación.

Ahora escribiendo el punto 2 me he dado cuenta que jinawee al principio me ha dicho que no tendría porqué ser así. Si en la base dual solo intervienen tuplas (ya que construcciones más "sofisticadas" se pueden reducir a tuplas), ¿en qué quedamos? En todo caso, ¿he entendido bien esos dos puntos?

Y una última pregunta, si mal no recuerdo, en caso de que $f_i(e_j)=0$, esta es la base del subespacio ortogonal. ¿El nombre del subespacio viene de que el producto escalar es 0 (y por lo tanto los vectores son ortogonales) o es que me he liado más de la cuenta?

[jinawee]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

A ver, se me ocurren dos formas en las que aplicar un vector dual sobre un vector no sea un producto escalar:

1. El producto escalar requiere satisfacer unos axiomas: lineal en una entrada, simétrico conjugado y definido positivo. El producto escalar inducido por el dual puede no cumplirlos.

Por ejemplo, en el espacio de Mikowski: $w(v)=w_0v_0-(w_1v_1+w_2v_2+w_3v_3)$. Aquí, aunque existe una correspondecia entre vectores y duales, el producto escalar resultante no sería definido positivo.

Si trabajamos en cuerpos finitos el producto escalar tampoco sería definido positivo, pero no sé si es posible definir espacios duales con ellos.


2. Tiene que haber una correspondencia entre vectores duales y vectores.

Este motivo me parece más interesante. SOLO los espacios vectoriales FINITOS son isomorfos a tuplas. Tengo entendido que los espacios vectoriales infinitos nunca son isomorfos al espacio vectorial dual. Intuyo que eso significa que no la correspondencia necesaria no existirá.

[Rodri]

Re: Sobre el concepto de aplicación lineal

La cuestión original de este hilo es sutil, porque el lenguaje en matemáticas hay que usarlo con cuidado: es algo más allá de que a(b) y (a,b) o <a,b> o $a\cdot b$ simbolicen o no la misma cosa. La diferencia entre el concepto de espacio dual y de producto escalar es algo más que una cuestión de notación. Me explico:

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
El espacio dual de V, que denotamos V* es el conjunto de todas las aplicaciones lineales que aplican V en K. ¿Hasta aquí bien?

El producto escalar es una aplicación que asigna a cada par de vectores de (x,y) de VxV un valor de K, que denotaremos $x\cdot y$ de tal forma que esa aplicación es bilineal.

En particular, si K es el conjunto de los reales R, suele incluirse la condición de que dicha aplicación bilineal sea definida positiva, es decir, que el producto escalar de cada vector $x\in V$ consigo mismo sea un número positivo, salvo si x es el vector nulo, en cuyo caso el producto de x por sí mismo es cero.

Como V* es isomorfo a V podemos definir el isomorfismo:

$x* \in V*$ <----> $x \in V$ tal que x*(y) = $x\cdot y$ para todo $y \in V$


y creo que esta es la identificación de la que preguntabas: que la actuación del espacio dual puede identificarse con un producto escalar.