Secundaria Demostración del teorema de las fuerzas vivas

[The Higgs Particle]

¡Hola! Igual que con el post anterior, agradecería mucho que me ayudarais a escribir esto de la forma más correcta posible ya que soy una novata todavía con estas cosas. En este caso, se trata de la demostración del teorema de las fuerzas vivas ($W$ representa el trabajo total realizado en el intervalo A, B).

1. Escalarmente

$dW = F \cdot dS \to W = {\int}^{B }_{A} (F \cdot dS) = {\int}^{B }_{A} (m \cdot \frac{dv}{dt } \cdot dS) = m \cdot {\int}^{{v}_{B } }_{{v}_{A }} (v \cdot dv) \to$ $W = m \cdot {[1/2 \cdot {v}^{ 2}]}^{{v}_{B } }_{ {v}_{ A}} \to W = \frac{1}{2 } \cdot m \cdot ({{v}_{B }}^{2 } - {{v}_{A }}^{2 }) = \Delta {E}_{c }$

2. Vectorialmente

$dW = \vec{F} \cdot d\vec{r} \to W = {\int}^{B }_{A} (\vec{F} \cdot d\vec{r})$, donde $\vec{F} = m \cdot \vec{a} = m \cdot \frac{d \vec{v}}{ dt} = m \cdot (\frac{d |{v}_{x }|}{dt} \vec{i } + \frac{d |{v}_{y }|}{dt} \vec{j } + \frac{d |{v}_{z }|}{dt} \vec{k})$, y donde $\vec{r} = |\vec{{r}_{x }}| \vec{i} + |\vec{{r}_{y }}| \vec{j} + |\vec{{r}_{z }}| \vec{k}$

$W = {\int}^{B }_{A} (m \cdot \frac{d \vec{v} \cdot d\vec{r}}{ dt}) \to$ $W = m \cdot [{\int}^{{Vx}_{B } }_{{Vx}_{A }}(|\vec{{v}_{x}}| \vec{i} \cdot d \vec{{v}_{ x}}) + {\int}^{{Vy}_{B } }_{{Vy}_{A }}(|\vec{{v}_{y}}| \vec{j} \cdot d \vec{{v}_{ y}}) + {\int}^{{Vz}_{B } }_{{Vz}_{A }}(|\vec{{v}_{z}}| \vec{k} \cdot d \vec{{v}_{ z}})]$

Por lo que:

$W = \frac{1}{ 2} \cdot m \cdot [ ({{Vx}_{B }}^{2 } - {{Vx}_{A }}^{2 }) \vec{i} + ({{Vy}_{B }}^{2 } - {{Vy}_{A }}^{2 }) \vec{j} + ({{Vz}_{B }}^{2 } - {{Vz}_{A }}^{2 }) \vec{k} ]$

Muchas gracias por todo!

[Weip]

Re: Demostración del teorema de las fuerzas vivas

Tal como he dicho en el anterior hilo, operar con componentes queda lioso. Es más limpio (y fácil) operar directamente con los vectores. Todo el mundo lo hace así. El procedimiento sería:

$W=\dst\int \limits_{a}^{b}\vec{F} \cdot d\vec{r}=\dst\int \limits_{a}^{b} m \vec{a} \cdot d\vec{r}= m \dst\int \limits_{a}^{b}\vec{v} \cdot d\vec{v}=\dst\frac{1}{2}m ((v_b)^2 -(v_a)^2)=\Delta E_c$

Fíjate que $(\vec{v})^2=v^2$.

[The Higgs Particle]

Re: Demostración del teorema de las fuerzas vivas

O sea, que aunque esté operando con vectores, es mejor intentar no sacar las componentes. Y una pregunta: has puesto $m \dst\int \limits_{a}^{b}\vec{v} \cdot d\vec{v}$. ¿Se puede también poner así o en los extremos del signo de la integral es necesario poner la variable de la que hablamos (en este caso, $\vec{v}$, sería $m \dst\int \limits_{{v}_{a }}^{{v}_{b }} \vec{v} \cdot d\vec{v}$ )?

[Weip]

Re: Demostración del teorema de las fuerzas vivas

O sea, que aunque esté operando con vectores, es mejor intentar no sacar las componentes. Y una pregunta: has puesto $m \dst\int \limits_{a}^{b}\vec{v} \cdot d\vec{v}$. ¿Se puede también poner así o en los extremos del signo de la integral es necesario poner la variable de la que hablamos (en este caso, $\vec{v}$, sería $m \dst\int \limits_{{v}_{a }}^{{v}_{b }} \vec{v} \cdot d\vec{v}$ )?

Cierto, fallo mío. He tenido un lío tremendo con el latex y al final me he olvidado de cambiarlo.

Si el problema no te obliga a operar con componentes, mejor no lo hagas porque es una pérdida de tiempo. Llegarás a los mismos resultados, pero te puedes equivocar más por el camino.

[The Higgs Particle]

Re: Demostración del teorema de las fuerzas vivas

Ah, ahora todo lo de la integral aclarado

Y otra cosa, ¿$(\vec{v})^2=v^2$?

Si $\vec{v} = \vec{ {v}_{ x}} + \vec{ {v}_{ y}} + \vec{ {v}_{ z}} \to ({\vec{v}}^{2 }) = {(\vec{ {v}_{ x}} + \vec{ {v}_{ y}} + \vec{ {v}_{ z}})}^{ 2}$, mientras que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , ¿no? ¿Me he equivocado en la primera expresión?

[Weip]

Re: Demostración del teorema de las fuerzas vivas

Mira:

$(\vec{v})^2=\vec{v}\vec{v}=vv\cos\alpha$

Pero el ángulo entre $v$ y $v$ es 0 (son el mismo vector, coinciden) y por lo tanto el coseno da 1:

$(\vec{v})^2=vv=v^2$

Lo quería destacar porque una vez yo mismo una vez me pregunté: ¿porqué en la expresión de la energía hay un vector ($1/2 m (\vec{v})^2$)? y eso es porque $(\vec{v})^2$ es un producto escalar que hay que hacer, y da un escalar.

[The Higgs Particle]

Re: Demostración del teorema de las fuerzas vivas

Me ha sorprendido mucho ese resultado. Entonces, dado el vector $\vec{v} = \vec{ {v}_{ x}} + \vec{ {v}_{ y}} + \vec{ {v}_{ z}}$ $\to ({\vec{v}}^{2 })\neq {(\vec{ {v}_{ x}} + \vec{ {v}_{ y}} + \vec{ {v}_{ z}})}^{ 2}$, sino que ${\vec{v}}^{2 } = {v}^{2}$

[Weip]

Re: Demostración del teorema de las fuerzas vivas

Me ha sorprendido mucho ese resultado. Entonces, dado el vector $\vec{v} = \vec{ {v}_{ x}} + \vec{ {v}_{ y}} + \vec{ {v}_{ z}}$ $\to ({\vec{v}}^{2 })\neq {(\vec{ {v}_{ x}} + \vec{ {v}_{ y}} + \vec{ {v}_{ z}})}^{ 2}$, sino que ${\vec{v}}^{2 } = {v}^{2}$

Si lo quieres hacer por componentes tienes que hacer $(v_x, v_y, v_z) \cdot (v_x, v_y, v_z)$, y si lo multiplicas componente a componente te sale $v^2$. A parte creo que el vector $\vec{v}$ lo quieres expresar de otra forma. Si lo quieres expresar como una combinación lineal de los vectores de la base, has de poner $\vec{v}=v_x \vec{i}+v_y \vec{j}+v_z\vec{k}$. Y si lo quieres en componentes, $\vec{v}=(v_x, v_y, v_z)$. Hagas como lo hagas saldrá igual, pero depende del camino que cojas será más largo o más corto.

[angel relativamente]

Re: Demostración del teorema de las fuerzas vivas

Entonces, dado el vector $\vec{v} = \vec{ {v}_{ x}} + \vec{ {v}_{ y}} + \vec{ {v}_{ z}}$ $\to ({\vec{v}}^{2 })\neq {(\vec{ {v}_{ x}} + \vec{ {v}_{ y}} + \vec{ {v}_{ z}})}^{ 2}$, sino que ${\vec{v}}^{2 } = {v}^{2}$

No mujer es exactamente lo mismo. Si desarrollas $({\vec{v}}^{2 })\neq {(\vec{ {v}_{ x}} + \vec{ {v}_{ y}} + \vec{ {v}_{ z}})}^{ 2}$, teniendo en cuenta que $\vec{v_r}\cdot \vec{v_r}=v_r^2$ ($r=x,y,z)$ por ser paralelos y que $\vec{v_r}\cdot \vec{v_s}=0$ por ser perpendiculares, llegarás a lo mismo. No obstante yo no soy partidario de usar los exponentes para los vectores ya que estos admiten distintos tipos de productos (y el producto de vectores es muy distinto al producto de números reales), por lo que a priori no entiendo que quiere decir "multiplicar un vector por sí mismo". Si bien se suele utilizar por analogía esa notación para el producto escalar, generalmente es preferible poner $\vec v \cdot \vec v$ a poner $(\vec v)^2$.

Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Demostración del teorema de las fuerzas vivas

¡Es verdad! Qué despiste más tonto por mi parte! Muchas gracias por hacérmelo ver