Otras carreras Como calcular la presión interna de un globo lleno de agua

[virgilio1100]

Hola, me surge una duda, pero no veo la forma de calcular la presión interna por ej. que hay dentro de un globo lleno de agua o cualquier otro líquido. Imaginemos un globo de los niños de tamaño pequeño y lo llenamos de agua, lo cerramos, y como puedo saber la presión interna que hay ?
Si aplicamos una fuerza X sobre el globo con el dedo este se deforma, esta deformación va en función a la fuerza que apliquemos, entonces hay alguna equación directa ? o también depende del ángulo que forme la deformación de la superficie del globo con respecto al dedo.
No veo claro el procedimiento a seguir, agradecería me dijeran como hacerlo.
Muchas gracias de antemano por todo.

[visitante20160513]

Re: Como calcular la presión interna de un globo lleno de agua

¿Podemos saber la forma que adopta el globo? Sin conocer ese dato va a ser muy complicado averiguarlo, además la presión en el interior del globo no va a ser constante, no lo es en general en el seno de los fluidos y este caso no es una excepción, hay que tener en cuenta que el agua que llena el globo tiene su propio peso. Y además hay que tener en cuenta la elasticidad del globo y como está sujeto, si apoyado en el suelo o colgando de un hilo. El problema parece demasiado complicado para que con una sola ecuación pueda resolverse, vamos creo que ni con una ni con cien. Ya a primera vista resulta demasiado complejo.

Salu2, Jabato.

[virgilio1100]

Re: Como calcular la presión interna de un globo lleno de agua

¿Podemos saber la forma que adopta el globo? Sin conocer ese dato va a ser muy complicado averiguarlo, además la presión en el interior del globo no va a ser constante, no lo es en general en el seno de los fluidos y este caso no es una excepción, hay que tener en cuenta que el agua que llena el globo tiene su propio peso. Y además hay que tener en cuenta la elasticidad del globo y como está sujeto, si apoyado en el suelo o colgando de un hilo. El problema parece demasiado complicado para que con una sola ecuación pueda resolverse, vamos creo que ni con una ni con cien. Ya a primera vista resulta demasiado complejo.

Salu2, Jabato.

Antes de nada muchas gracias por su contestación tan rápida, es usted muy amable.
En principio a lo que usted dice, pues imagínese un globo de goma el de los niños, estos que se inflan con la boca y con aire, pues imagine este globo por ej. del tamaño de un huevo de gallina por decir algo concreto por la forma geomética y lleno de agua normal pero si quiere agua (densidad = 1), lo ponemos en una cavidad de la misma forma del huevo en forma horizontal con las puntas en horizontal, esta cavidad por ej. madera, es decir un hueco de madera con la misma forma, de tal manera que el huevo de goma lleno de agua no sufre por su exterior fuerzas +-.
Entonces si sabemos la elasticidad, la que sea, dentro hay agua densidad = 1, no sé si aplicando una fuerza de X Newtons por ej. con un dedo y la superfice de contacto del dedo sea 1 cm2 por ej. al aplicar esta fuerza-presión con el dedo hay una deformación en el globo hundiéndose esta superficie del globo, a partir de aquí es posible calcular la presión interna del globo ?, el globo está estático, no tiene movimiento, es un caso teórico, como puede calcularse ?.
Muchas gracias otra vez y le agradezco su respuesta, también agradecería si alguien puediera hechar una mano si sabe algo.
Saludos.

[Rodri]

Re: Como calcular la presión interna de un globo lleno de agua

Quizá se me escape algún detalle sutil, pero sin pensarlo demasiado no veo el problema tan complejo. Veamos.

Cosideremos el globo lleno de agua y descansando sobre una mesa. Imaginemos que somos una hormiga inteligente con conocimientos de Física y que estamos sobre la cima del globo. Ahora hacemos un pequeño agujero y medimos con un manómetro para hormigas la presión en el agua justo al otro lado de la goma: sería igual a la atmósférica P_0, ya que la goma está en equilibrio mecánico entre el aire sobre ella y el agua bajo ella.

Ahora vamos introduciendo el manómetro más y más profundo con ayuda de un hilo del que lo colgamos, de manera que para una profundidad h medimos $P(h)=P_{0}+\rho gh$, donde $\rho$ es la densidad del agua. Sabemos que para todos los puntos dentro del globo en el mismo plano horizontal, la presión solo depende de la profundidad h del plano con respecto a la cima del globo y vale $P(h)=P_{0}+\rho gh$.

Cuando el manómetro llega al fondo del globo la presión será máxima y valdrá $P_{0} + \rho gH$, donde H es la altura de la cima del globo sobre la mesa. La porción de goma en contacto con el fondo estará en equilibrio mecánico entre el peso del agua sobre ella y la reacción normal de la mesa.
Para cualquier punto de la superficie del globo, la tensión de la goma será la necesaria para compensar la diferencia de presiones entre el agua dentro y el aire fuera, de forma que exista equilibrio mecánico.

[teclado]

Re: Como calcular la presión interna de un globo lleno de agua

Cosideremos el globo lleno de agua y descansando sobre una mesa. Imaginemos que somos una hormiga inteligente con conocimientos de Física y que estamos sobre la cima del globo. Ahora hacemos un pequeño agujero y medimos con un manómetro para hormigas la presión en el agua justo al otro lado de la goma: sería igual a la atmósférica P_0, ya que la goma está en equilibrio mecánico entre el aire sobre ella y el agua bajo ella.

No veo claro que la presión en la parte superior del globo sea la atmosférica. Si la hormiga hiciera un agujero minúsculo en el globo el agua saldría a presión debido a que el globo ejerce cierta presión hacia dentro. Me parece que para responder a esta cuestión habría que saber el comportamiento elástico del globo, lo cual es digno de resolverse como un problema separado. La presión en la parte superior no es la atmosférica, si no la atmosférica más la debida a la tensión del globo, que tratando de adivinar me parece que dependerá a su vez de la altura.

Saludos

[visitante20160513]

Re: Como calcular la presión interna de un globo lleno de agua

Ni yo. Estoy de acuerdo con teclado. Para calcular la presión en cualquier punto de la superficie mojada debe tenerse en cuenta la elasticidad y la elongación del globo. La presión ejercida en dicho punto será tanto mayor cuanto mayor sea el radio de curvatura del globo suponiendo que la tensión de la goma debe ser la misma en todos sus puntos. Yo creo que el problema es demasiado complejo.

Salu2, Jabato.

[Rodri]

Re: Como calcular la presión interna de un globo lleno de agua

No veo claro que la presión en la parte superior del globo sea la atmosférica. Si la hormiga hiciera un agujero minúsculo en el globo el agua saldría a presión debido a que el globo ejerce cierta presión hacia dentro. Me parece que para responder a esta cuestión habría que saber el comportamiento elástico del globo, lo cual es digno de resolverse como un problema separado. La presión en la parte superior no es la atmosférica, si no la atmosférica más la debida a la tensión del globo, que tratando de adivinar me parece que dependerá a su vez de la altura.

Saludos

Estoy de acuerdo en que esto no está claro. Yo también pensé esta posibilidad que dice teclado, pero como entramos en un modelo complicado que depende del comportamiento elástico, pues preferí exponer un modelo simplificado.
La cuestión es si las paredes del globo están sometidas a tensión o no por el mero hecho de estar lleno de agua. Parece claro que eso es así, ya que la superficie del globo sin tensión es menor que cuando lo hemos dilatado llenándolo con un fluido. Entonces las paredes del globo están tensionadas en todo el globo, eso es verdad.

Sin embargo, a mí me parece intuitivo que si en vez de un globo, se tratara de una bolsa perfectamente cerrada y si hubiera una pequeña burbuja de aire dentro, la burbuja quedaría en la cima y su presión sería la atmosférica, ya que por "bolsa" entiendo una película plástica deformable pero sin capacidad de variar su superficie total. Entonces, razonando por aproximaciones sucesivas, si disminuimos la burbuja hasta hacerla desaparecer tendríamos la situación que yo decía en mi post.

[virgilio1100]

Re: Como calcular la presión interna de un globo lleno de agua

Quizá se me escape algún detalle sutil, pero sin pensarlo demasiado no veo el problema tan complejo. Veamos.

Cosideremos el globo lleno de agua y descansando sobre una mesa. Imaginemos que somos una hormiga inteligente con conocimientos de Física y que estamos sobre la cima del globo. Ahora hacemos un pequeño agujero y medimos con un manómetro para hormigas la presión en el agua justo al otro lado de la goma: sería igual a la atmósférica P_0, ya que la goma está en equilibrio mecánico entre el aire sobre ella y el agua bajo ella.

Ahora vamos introduciendo el manómetro más y más profundo con ayuda de un hilo del que lo colgamos, de manera que para una profundidad h medimos $P(h)=P_{0}+\rho gh$, donde $\rho$ es la densidad del agua. Sabemos que para todos los puntos dentro del globo en el mismo plano horizontal, la presión solo depende de la profundidad h del plano con respecto a la cima del globo y vale $P(h)=P_{0}+\rho gh$.

Cuando el manómetro llega al fondo del globo la presión será máxima y valdrá $P_{0} + \rho gH$, donde H es la altura de la cima del globo sobre la mesa. La porción de goma en contacto con el fondo estará en equilibrio mecánico entre el peso del agua sobre ella y la reacción normal de la mesa.
Para cualquier punto de la superficie del globo, la tensión de la goma será la necesaria para compensar la diferencia de presiones entre el agua dentro y el aire fuera, de forma que exista equilibrio mecánico.

Muchas gracias por su respuesta.
Usted aplica una presión Hidrostática donde en función a la altura la presión será diferente, es decir arriba del globo habrá menos presión que abajo del globo.
Se supone que la presión interna es homogénea por todas sus partes, y no tiene fuerzas externas y está en reposo.
Es algo más complicado creo yo.
Muchas gracias por todo.

[Umbopa]

Re: Como calcular la presión interna de un globo lleno de agua

Se supone que la presión interna es homogénea

La expresión de la presión hidrostática es válida para un fluido en equilibrio, así que en ese aspecto es correcto lo que ha dicho Rodri.

Supón que la forma de la superficie del globo viene dada por la ecuación $z = z(x,y)$.

La diferencia de presión entre un lado de la membrana y el otro viene dada por las ecuaciones de elasticidad que suele estar relacionada con las segundas derivadas

$\Delta P(x,y) = F(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\frac{\partial^2 z}{\partial y^2},... )$

y por otro lado se cumpla la ecuación hidrostática

$\Delta P(x,y) = - \rho g z + cte = F(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\frac{\partial^2 z}{\partial y^2},... )$

De donde sale una ecuación diferencial para la superficie que hay que resolver.

Te recomiendo que leas algún libro de elasticidad para buscar la dependencia de la diferencia de la presión a los dos lados de la membrana. Creo que se relaciona directamente con el laplaciano para una posición de equilibrio de la membrana plana ($z_0 = cte$) tendríamos $F(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\frac{\partial^2 z}{\partial y^2},... ) \propto \Delta z(x,y) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$

De todas formas este problema seguro que ya lo ha pensado alguien así que intenta buscar en algún lado a ver que encuentras

[Rodri]

Re: Como calcular la presión interna de un globo lleno de agua

Muchas gracias por su respuesta.
Usted aplica una presión Hidrostática donde en función a la altura la presión será diferente, es decir arriba del globo habrá menos presión que abajo del globo.
Se supone que la presión interna es homogénea por todas sus partes, y no tiene fuerzas externas y está en reposo.
Es algo más complicado creo yo.
Muchas gracias por todo.

No. La presión no es homogénea en todo el líquido. Si la presión en un punto del interior es P, entonces un punto inferior situado a una distancia h según la vertical tendrá una presión $P+\rho g h$. De esto no se puede escapar. El gradiente hidrostático sigue existiendo seguro.
La discusión es más bien sobre las condiciones de contorno del problema: yo decía que estas condiciones se obtienen simplemente teniendo en cuenta que en la "cima" del globo el agua tiene una presión igual a la atmosférica, y a partir de esta condición, la presión de cualquier punto del interior del globo estaba determinada simplemente por el gradiente hidrostático de presión. Sin embargo teclado y Jabato me han convencido de que estaba equivocado, ya que la tensión de las paredes del globo no es nula en un modelo realista y por tanto hay que sumarla a las condiciones de contorno del problema.

Es más. Creo que podemos proponer el siguiente modelo.
Sea un globo esférico lleno de agua inmerso en una piscina (el globo ni flota ni se hunde al ser la densidad del fluido la misma dentro y fuera y suponiendo el agua líquida incompresible).
Llamemos $P_{1}$ a la tensión elástica de la goma en el punto más alto del globo.
Llamemos $P_{0}$ a la presión en el punto más alto del globo por fuera de él
Definamos un sistema de referencia cartesiano, con el eje Z es según la vertical y situemos el origen en el punto más alto del globo.

Entonces la presión en un punto cualquiera del interior del globo vendrá dada por


$P(x,y,z)=P_{0}+P_{1}-\rho g z$

Esta expresión tiene en cuenta:

1) Que la situación tiene simetría de revolución en torno al eje Z
2) Que el líquido fuera y dentro del globo está en reposo
3) Que en cualquier porción de agua interior al globo el único gradiente de presión es el hidrostático, lo cual es consecuencia de la ecuación de Euler para un fluido en un campo gravitatorio aplicada a dicha región para el caso hidrostático: $\frac{1}{\rho}\vec{\nabla} P(x,y,z) =- g \vec{k}$
4) Que en la cima del globo (origen de coordenadas) la presión interior es $P_{0}+P_{1}$

[virgilio1100]

Re: Como calcular la presión interna de un globo lleno de agua

La expresión de la presión hidrostática es válida para un fluido en equilibrio, así que en ese aspecto es correcto lo que ha dicho Rodri.

Supón que la forma de la superficie del globo viene dada por la ecuación $z = z(x,y)$.

La diferencia de presión entre un lado de la membrana y el otro viene dada por las ecuaciones de elasticidad que suele estar relacionada con las segundas derivadas

$\Delta P(x,y) = F(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\frac{\partial^2 z}{\partial y^2},... )$

y por otro lado se cumpla la ecuación hidrostática

$\Delta P(x,y) = - \rho g z + cte = F(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\frac{\partial^2 z}{\partial y^2},... )$

De donde sale una ecuación diferencial para la superficie que hay que resolver.

Te recomiendo que leas algún libro de elasticidad para buscar la dependencia de la diferencia de la presión a los dos lados de la membrana. Creo que se relaciona directamente con el laplaciano para una posición de equilibrio de la membrana plana ($z_0 = cte$) tendríamos $F(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\frac{\partial^2 z}{\partial y^2},... ) \propto \Delta z(x,y) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$

De todas formas este problema seguro que ya lo ha pensado alguien así que intenta buscar en algún lado a ver que encuentras

Muchas gracias por su respuesta, creo que por ahí pueden ir los tiros.
Tambiién se me ocurre esto:

F = P * S

Es decir la fuerza que hay que aplicar para hacer una deformación concreta de una superficie, de esta manera de forma indirecta sabremos la P que hay en el punto X donde apliquemos la F.
Saludos.