1r ciclo Ley de Gauss

[daniiy]

Se tienen las siguientes distribuciones de carga: una carga puntual Q (en el origen); carga distribuida uniformemente en una superficie esférica de radio R1 (siendo $\sigma$ la densidad superficial de carga) y carga distribuida uniformemente en una superficie esférica de radio R2 (siendo $-2 \sigma$ la densidad superficial de carga). Ambas esferas con su centro en el origen.

a) Sabiendo que el módulo del campo eléctrico en el punto ( -30, 0, 0) en centimetros es E = 1.81×105 N/C, calcular el valor de Q DATOS: $\sigma$ = 5 micra C/m2; R1 = 15 cm; R2 = 45 cm

El campo total sería la suma del campo debido a las 3 distribuciones de carga, ¿no? Sin embargo me falla aplicar la teoría, no sé qué superficies poner y qué cargas en las distribuciones esféricas, me lío un montón
Por otro lado, el campo en la carga puntual, sería calcular el campo eléctrico normal no?, es decir E=F/Q, ¿no?

Aporto también que creo que el campo el sigma sería:
$E_\sigma=\displaystyle\frac{\sigma S}{4\pi \epsilon_0 r^2}$

[Al2000]

Re: Ley de Gauss

Como te dan el campo a 30 cm del origen, deberás usar una superficie gaussiana esférica centrada en el origen y que pase por el punto donde conoces el campo, es decir, de 30 cm de radio. Nota que la cáscara de radio R2 queda por fuera de la superficie gaussiana y la vas a ignorar por completo. El campo que te dan será la suma del campo de la carga puntual y de la cáscara de radio R1. Calcula el flujo y aplica el Teorema de Gauss para hallar Q.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[daniiy]

Re: Ley de Gauss

Mmmmmm entonces...
$E_T=\displaystyle\frac{\sigma S}{4\pi \epsilon_0 r^2}+\displaystyle\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$

No?
Por cierto, esa superficie, sería $4\pi R^2$ ?? Con esa R la R del radio de la distribucion de sigma?

[Al2000]

Re: Ley de Gauss

El flujo, como el campo es radial uniforme, resulta simplemente $\Phi_E = E S$, donde $E$ es el módulo del campo que te dan y $S = 4 \pi R^2$ el área de la superficie gaussiana de radio 30 cm. Observa que tienes toda la información para calcular el flujo. Ahora puedes aplicar el teorema de Gauss, $\dst \Phi_E = q_\text {neta}/\epsilon_0$ para hallar la carga neta dentro de la superficie gaussiana. Ya lo único que te faltaría por hacer es restar la carga del cascarón para hallar Q.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[daniiy]

Re: Ley de Gauss

$E=\displaystyle\frac{\sigma 4\pi R^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}+\displaystyle\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$

así estaría bien siendo R el radio R2 y r el radio de la sueperficie gaussiana? (Y luego a partir de ahí despejando Q)

PD: Aporto una nueva duda. En el caso de que sigma fuera negativo, en la fórmula de la ley de gaus (sustituyendo la carga neta poniendolo en función de la densidad) esa sigma se pondría en negativo o en valor absoluto (positivo)

[Al2000]

Re: Ley de Gauss

- Usando una superficie gaussiana esférica centrada en el origen y de radio $R$, el flujo del campo eléctrico será $\dst \Phi_E = \oint_S \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = E S = E \cdot 4 \pi R^2 = 4 \pi E R^2$, siendo $R = 30\,\mathrm{cm}$ la distancia al punto donde se conoce el campo $E = \notcien {1.81}{5}\,\mathrm{N/C}$.

- La carga del cascarón de radio $R_1$ vale $Q_1 = \sigma \cdot 4 \pi R_1^2 = 4 \pi \sigma R_1^2$.

- Aplicando el teorema de Gauss a la superficie elegida: $\dst \Phi_E = Q_\text {neta}/\epsilon_0 = (Q + Q_1)/\epsilon_0 \quad \Rightarrow \quad Q = \epsilon_0 \Phi_E - Q_1$.

Saca tu las cuentas. No olvides reducir los centímetros a metros a la hora de calcular.

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PD: Aporto una nueva duda. En el caso de que sigma fuera negativo, en la fórmula de la ley de gaus (sustituyendo la carga neta poniendolo en función de la densidad) esa sigma se pondría en negativo o en valor absoluto (positivo)

- Si estás calculando la carga, $\sigma$ debe usarse con su signo.

- Si estás sumando campos, la suma es siempre vectorial y $\sigma$ debe usarse con su signo.

- Si los campos están en la misma dirección y estás omitiendo el carácter vectorial a la hora de sumar, lo que estás sumando son componentes y $\sigma$ debe usarse con su signo.

- En el único caso en el que se usa $\sigma$ en valor absoluto, será en el caso de estar calculando el módulo del campo que produce.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[daniiy]

Re: Ley de Gauss

Mmmm vale perfecto, muchísimas gracias.
Otra cosilla, en el caso que la carga puntual Q no estuviera en el origen (pero al igual, estuviera encerrada en la superficie gaussiana que hemos aplicado en este problema) no habría simetría esférica, verdad?

Y por último, en el apartado b) piden calcular el vector del campo eléctrico en (50,0,0) en cm
Entonces he pensado en dibujarlo vectorialmente. El campo debido a Q y a $\sigma$ tiene sentido positivo del eje X, y el de $-2\sigma$ sentido negativo del eje X. Entonces habría que calcular los campos por separado esta vez, y sumarlos vectorialmente, ¿no?

Gracias
Saludos

- - - Actualizado - - -

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Esto sería el campo de Q, no?

[Al2000]

Re: Ley de Gauss

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Otra cosilla, en el caso que la carga puntual Q no estuviera en el origen (pero al igual, estuviera encerrada en la superficie gaussiana que hemos aplicado en este problema) no habría simetría esférica, verdad?
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No la habría y el problema no tendría solución (con los datos que te dan).

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Y por último, en el apartado b) piden calcular el vector del campo eléctrico en (50,0,0) en cm
Entonces he pensado en dibujarlo vectorialmente. El campo debido a Q y a $\sigma$ tiene sentido positivo del eje X, y el de $-2\sigma$ sentido negativo del eje X. Entonces habría que calcular los campos por separado esta vez, y sumarlos vectorialmente, ¿no?
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Eso es correcto. De hecho, como los tres campos varían con el inverso del cuadrado de la distancia, será suficiente con escribir que el campo vale $\dst E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q_\text {total}}{r^2}$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[daniiy]

Re: Ley de Gauss

Vale perfecto, muchísimas gracias!

Saludos