1r ciclo Una cuerda que se desliza sobre una mesa

[MrM]

Buenas, necesito ayuda con este problema:


Yo he intentado esto:

Como se supone que no hay fricción y la cuerda es inextensible, la aceleración que aparezca en un extremo de la cuerda tiene que aparecer en todos los demás puntos de la cuerda (mismo módulo, pero no necesariamente la misma dirección), ya que si es inextensible es imposible que una parte caiga de la mesa y que el resto de la cuerda permanezca estática.

Por lo tanto, al dejar caer un trocito $dl$ de la cuerda, aparecerá sobre éste una aceleración $\vec{g}=-9,81\hat{k}$. Esta aceleración provoca que ese trocito empiece a caer, y por lo tanto, en el centro de masas de la cuerda (situado en L/2, siendo L la longitud de la misma) aparece una aceleración $\vec{g}=9,81\hat{i}$. Esto se debe a que si parte de la cuerda está cayendo, la parte que está en la mesa tiene que deslizarse hacia el borde. Por lo tanto, resolver el problema consiste en:

1) Averiguar cuánto tarda el centro de masas en llegar al borde de la mesa (esto es, en recorrer L/2).
2) Suponiendo que la mesa tiene altura h, averiguar cuánto tarda el centro de masas en caer hasta el suelo.
3) Sumar ambos tiempos.

Sin embargo, en este planteamiento no interviene la ecuación diferencial, por lo que dudo que esté bien.

¿Alguien podría explicarme en qué he fallado, y cómo se hace el ejercicio? Gracias y un saludo.

[arivasm]

Re: Una cuerda que se desliza sobre una mesa

Fallas en que es falso que el trocito de cuerda caerá libremente. Eso sólo sucedería si estuviese sometido exclusivamente a su peso. Te falta tomar en consideración la tensión de la cuerda y que ésta será variable a lo largo de la porción colgante.

Es fácil ver que la tensión aumenta linealmente desde el extremo inferior hasta el punto en el borde de la mesa (aplícale la 2ª ley a un elemento de cuerda de la parte vertical, deberás obtener $\dd m\, g - \dd T=\dd m\, a$). Si llamamos $y$ a la distancia desde dicho extremo inferior se tiene que la tensión en el borde es $T=\lambda(g-a)y$. Aplicando la 2ª ley de Newton al trozo que está sobre la mesa, cuya masa es $\lambda(L-y)$ resulta $T=\lambda(L-y)a$, con lo que se llega a la ecuación diferencial $\dst \frac{\dd^2 y}{\dd t^2}=\frac{g}{L} y$