1r ciclo Una esfera móvil encima de una fija

[MrM]

Buenas, tengo una duda con un problema que no sé resolver.

El problema dice así:

Una pequeña canica de radio r y masa m permanece en equilibrio inestable en la cima de una gran esfera de radio R que está fija en una superficie horizontal plana. Se desplaza ligeramente la canica de su posición de equilibrio, de modo que comience a rodar sin deslizar sobre la esfera grande, con velocidad inicial muy pequeña.
A)Determine la posición del punto en el que la canica se separa de la esfera grande.
B) Calcule el vector velocidad de la canica para el instante del apartado A).
C) Determine el punto de la superficie plana en el que impacta la canica.

De momento, lo único que he sacado en claro es que la esfera pequeña recorrerá una distancia sobre la grande, y que esa distancia será $d=R \theta$, siendo theta el ángulo recorrido.
Además, el movimiento de la canica sobre la esfera se asemeja mucho al de un giroscopio, por lo que $\Omega =\frac{mgd}{I \omega}$. Pero eso es todo lo que saco en claro.

Agradecería una ayudita.

Un saludo.

[felmon38]

Re: Una esfera móvil encima de una fija

Hola:

Sobre la canica actúan las siguientes fuerzas:
- La normal N, en dirección al radio que forma un ángulo θ con la vertical.
- La fuerza de rozamiento, en dirección perpendicular al radio.
- El peso.
La única fuerza que realiza trabajo es el peso, ya que la v del punto de contacto es 0, por lo que, aplicando el teorema de la energía cinética:

I_G.w²/2 + m.w².r²/2=m.g.r.(1-cosθ). (1)

Proyectando las fuerzas en dirección r:

m.g.cosθ - N = m.w².r

En el momento de despegarse N = 0, por lo que:

m.g.cosθ = m.w².r. (2)

De las ecuaciones (1) y (2) se pueden despejar las incógnitas w y θ.

El movimiento del giróscopo es 3D y el de la canica es plano, asî que no se parecen.

Saludos

[MrM]

Re: Una esfera móvil encima de una fija

Muchísimas gracias. Una explicación muy completa y sencilla de entender.

¡Un saludo y gracias de nuevo!

[Breogan]

Re: Una esfera móvil encima de una fija

Hola:

El marco teórico dado por felmon es correcto, sintetizando la energía mecánica se conserva en este ejercicio, pero creo que en el apuro se perdieron algunas consideraciones en la formulación del balance de energía.

Hagamos la formulación paso a paso, tomando un SR con el origen en el centro de la esfera grande:

1_ La energía cinética inicial es:

$\dst E_{c0}=0$

2_ La energía potencial inicial es:

$\dst E_{p0} = m g (R + r)$

R+r: altura del centro de gravedad de la esfera chica en nuestro SR.

3_ Para la energía cinética final debemos tener en cuenta que la esfera chica rueda, por lo cual tiene una energía cinética de rotación:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

G: centro de la esfera chica

y su centro de masa describe una trayectoria circular alrededor del centro de la esfera grande, por lo cual habrá una energía cinética debido a este movimiento que se debe tener en cuenta, dada por:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

O: centro de la esfera grande.

Por lo cual la energía cinética final sera:

$\dst E_{cf} = \frac 1 5 m r^2 \ \omega^2_G + \frac 1 2 m (R + r)^2 \ \omega^2_O$

donde $\omega^2_G \quad y \quad \omega^2_O$ están relacionados por la condición de rodadura sin deslizamiento.

4_ La energía potencial final, tomando el angulo $\theta$ a partir de la posición vertical, sera:

$\dst E_{pf} = m g (R + r) cos \theta$

Con estas ecuaciones ya podes plantear el balance de energía, ojo hay que revisarlas porque las hice en el aire sin hacerme ningún dibujo guía, así que puede haber algún error pero la idea es esa.

También es posible que a o largo del problema haya que utilizar la aproximación de que $R \gg r$, como no hice el ejercicio completo no lo puedo asegurar; pero el enunciado no hace mención de esta condición.

NOTA: para el ultimo punto se tiene que tener en cuenta que la esfera grande esta completa ( no es una semiesfera, como tradicionalmente aparece en este tipo de problemas), y en el SR que yo indique al principio el punto de impacto de la esfera chica con el suelo tendría una coordenada "y" igual a -(R-r).

s.e.u.o.

Suerte

PD: vuelvo a reiterarte la necesidad de que te hagas los dibujos que sean necesarios para que te queden claras las condiciones geométricas del problema, ya que se complica al tratarse del conjunto de dos sólidos rígidos, y no tomes como totalmente valido lo puesto en mi mensaje sin haberlo verificado personalmente.

Sueert