Otras carreras Matemática de Tensores. Riemann y Ricci.

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Buenos días amigos del Foro. Quiero saber sobre el escalar de Riemann y de Ricci. Tengo entendido que el escalar de Curvatura de Ricci R se relaciona con el escalar de Curvatura de Riemann K con una expresión matemática que indica que el escalar de Ricci R es igual a la suma de los escalares de Riemann K, para espacios de mas de dos dimensiones. A cada escalar de Riemann K le corresponde un plano $\pi$ del cual tengo la duda que si corresponde con las componentes independientes del tensor de Ricci ${R}_{ij}$ que son 10 componentes, con lo que tendríamos 10 de estos planos $\pi$ El escalar K de Riemann es igual a la componente ${R}_{1212}$, dividido por una expresión de componentes del tensor métrico ${g}_{ij}$ No estoy seguro que la relación con los planos $\pi$ sea así. Estoy seguro que hay un número de curvatura para cada componente del tensor de Ricci, pero no se si coincide con cada plano $\pi$ en la definición de la curvatura R de Ricci en base al escalar de Riemann K. Debería coincidir pero no estoy seguro. En todo caso el escalar R de Ricci se puede obtener multiplicando al tensor de Ricci por el conjugado del tensor métrico ${g}_{ij}$ que es ${g}^{ij}$ Pero si puedo saber con certeza la relación con los planos $\pi$ obtendría una información valiosa para mi. Lo de los planos $\pi$ está en Internet, en la Web en general. Las componentes del tensor de Ricci son 16, en cuatro dimensiones: x, y, z, t pero tratandose de un tensor simétrico solo tiene 10 componentes independientes. Gracias por su atención amigos del foro. Me despido por ahora agradecido.

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Re: Matemática de Tensores. Riemann y Ricci.

Buenos días amigos del Foro. Siguiendo con la investigación he encontrado que el tensor de Riemann tiene unidades de $\frac 1 {metros^2}$. Esto sería "algo" por unidad de área, y este "algo" sería la curvatura del espacio. He encontrado que los planos $\pi$, se relacionan a curvaturas parciales de la curvatura total de Ricci R, y por esto $R = \sum K(\pi)$, siendo K la curvatura seccional o parcial, componente de la curvatura total R. Tendríamos seis números de curvatura K, ya que no estaríamos formando planos $\pi$ para dimensiones i = j, y como tenemos al sacar las 4 componentes i = j, 12 componentes, seis son redundantes por lo que nos quedan 6 números, por lo que la curvatura total sería R = 6K. Es lo que he hallado hasta ahora. Gracias por estar ahí pendientes de esta inquietudes. Hasta luego. Saludos.

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Re: Matemática de Tensores. Riemann y Ricci.

Buenos días amigos. He estado pensando que si todos los 6 números K de la curvatura parcial de Riemann (Componentes de Curvatura) son iguales, entonces este sería un espacio muy homogéneo y por eso perderíamos generalidad. Pero números K diferentes significa que tendríamos que disponer que una definición de curvatura parcial K mas general que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , para tener mas libertad al considerar las dimensiones $i \neq j$. La pregunta es: ¿cual es esa expresión mas general de Curvatura K de Riemann? Agradecido por su atención me despido por los momentos. Saludos.

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Re: Matemática de Tensores. Riemann y Ricci.

Buenas tardes amigos. He seguido investigando sobre este significado del escalar de Riemann y de Ricci. La expresión del escalar de Riemann "K" es única, depende directamente de la componente: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , del tensor de cuarto orden de Riemann, no hay otra "K" de Riemann. El escalar de Ricci "R", de acuerdo a las ecuaciones de campo depende de la materia; en caso de una estrella en formación, se refiere a que la nube molecular se va compactando, dependiendo principalmente de la componente [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] del tensor de Ricci, como saben: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , tambien esta implícita aquí la presión molecular de la nube. Las componentes [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , implican la curvatura exterior a la estrella y se manifiesta como la gravedad atractiva. En realidad para este caso la materia es la fuente de curvatura y los efectos son la gravedad, que es expresado en términos geométricos en las ecuaciones de campo, no de gravedad.

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Hola amigos. Para completar el comentario de ayer quiero agregar que para el universo entero el escalar de curvatura R se refiere a su curvatura interna global, esto está referido al exceso radial que el físico Richard Feynman menciona en su libro de física y que fue calculado por Einstein. En cuanto a las seis componentes restantes del tensor de Ricci, para el universo entero, pienso que refiere a su curvatura si se le ve desde fuera, esto es según Friedman, Lemaitre, Robertson y Walker una geometría hiperbólica, elíptica o euclidiana. Habría que "salirse" del universo para observar esto último. Feliz día amigos.