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Dibujar la funcion Zeta de Riemann

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  • Avanzado Dibujar la funcion Zeta de Riemann

    Buenas noches.
    Pretendo dibujar la funcion Zeta de Riemann de la misma forma
    que he dibujado la funcion Zeta de Euler. (Ver grafico adjunto).
    He empezado por dibujar la funcion Zeta de Euler.



    Pero me he encontrado que solo funciona bien cuando Zr>1.
    Cuando 0<Zr<1, la funcion, se ´desmadra´...
    Y cuando Zr<0, la funcion vale infinito para todos los casos que he
    probado.
    Y esto se parece pero no es la famosa funcion Zeta de Riemann.
    He encontrado que la funcion Zeta de Riemann vale:



    o bien:



    Pero ahora me encuentro que si para calcular Zeta(s) debo saber
    cuanto vale Zeta(1-s) estoy en un bucle sin salida...
    No creo que tenga problemas para calcular la funcion Gamma ni
    elevar pi a cualquier numero complejo.
    Alguien sabe como calcularla?
    Un saludo.

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Nombre:	zetaEuler.jpg
Vitas:	1
Tamaño:	102,2 KB
ID:	311716
    Última edición por FVPI; 18/12/2014, 21:50:44. Motivo: añado otra ecuacion

  • #2
    Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

    La función se desmadra porque esa representación solo vale para números con parte real mayor que uno. Lo otro que has puesto es la ecuación functional que verifica. Para hacer la gráfica creo que deberías buscar otra representación.

    Comentario


    • #3
      Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

      He encontrado otra funcion:



      Esta es debida a Konrad Knopp.

      Si funciona bien para valores de -10<zr<10 y -50<zi<50 me daré por satisfecho. (Me parece una función relativamente
      fácil para calculo numérico. Solo es cuestión de donde voy a aproximar con n=inf. y tiempo de maquina).
      ¿Intento desarrollar el programa o esta función no es buena y busco otra forma?
      Gracias y un saludo.

      Comentario


      • #4
        Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

        No sé mucho (casi nada) de algoritmos para plotear, así que te hablaré de la función y ya decides. Esa función es globalmente convergente . En cambio, la siguiente función sí que converge globalmente:



        Creo que la siguiente manipulación debería hacer el algoritmo que plantees converger más rápido. Sea



        un polinomio arbitrario de grado tal que . Definamos




        y cojamos como definición alternativa de la función zeta de riemann la formada por las series p. Entonces



        con



        La idea es que el error debido a la integral de dividido por sea tan pequeño como sea posible. Yo intuyo (por lo que he desarrollado y por lo que he leído) que los polinomios de Chebyschev ajustados al intervalo de la integral podrían ser una muy buena opción.

        Saludos.
        Última edición por Samir M.; 20/12/2014, 07:02:08.
         \forall p \exists q : p❤️q

        Comentario


        • #5
          Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

          Una pregunta. En la primera formula del mensaje anterior, el primer sumatorio no debería ser
          de n=2 a infinito?
          Porque creo que tal como esta escrita, la función Zeta(s) dará infinito en todos los casos.
          Gracias y un saludo.

          Comentario


          • #6
            Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

            Sí, perdona, hay una errata en un signo:





            Saludos.

            - - - Actualizado - - -

            Anda, mira, he encontrado información sobre lo que te comenté de los polinomios de Chebyschev aunque para la función eta de Dirichlet, échale un ojo que seguro que te sirve.


            Salu2.
             \forall p \exists q : p❤️q

            Comentario


            • #7
              Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

              Gracias.
              Muy interesante el link. Además, en Referencias hay un .PDF que habla de ´Evaluación numérica de la función Zeta´...
              Voy a estudiar todo esto y empezar a desarrollar un programa que la dibuje en 2D o en 3D. (Depende de como se vea mas clara la superficie).
              Un saludo.

              Comentario


              • #8
                Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

                De nada. Ya nos contarás cómo ha ido! A mí al menos me intriga cómo saldrá.

                Saludos.
                 \forall p \exists q : p❤️q

                Comentario


                • #9
                  Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

                  Bien. Ahi va el dibujo.
                  Al final, me he decidido por la aproximacion de Euler-MacLaurin.
                  Es de facil programacion aunque las operaciones con complejos es
                  siempre complicada. Es rapida porque converge rapidamente para
                  ´n´ pequeños. Y es precisa porque dá mas de 7 digitos de precision
                  para ´s´ pequeños. (Que es lo que me interesaba).
                  Aqui he usado n=20 y -5 < Real(s) <+10 y 0 < Imag(s) < +25.
                  (La imagen completa es simetrica con respecto al plano Real(s)-Mod(Zeta(s)))
                  Y coincide con los valores de test:
                  Mod(Zeta(1,0))=infinito.
                  Mod(Zeta(-2,0))=0
                  Mod(Zeta(-4,0))=0
                  Mod(Zeta(10,0)) aprox.=1
                  Mod(Zeta(0.5,14.134725))=0
                  Mod(Zeta(0.5,21.022040))=0











                  Y he tomado el error

                  He optado por hacer secciones de la superficie resultante. (Y no muchas).
                  Porque la superficie se hace muy compleja para valores de Real(s)
                  menores que +2 y añadir muchas secciones oscurece mucho la interpretacion
                  de la superficie. Lo ideal hubiese sido buscar un punto de vista adecuado,
                  facetear la superficie y hacer un ´hidden line´...pero esto es mucho mas
                  complicado y lo voy a dejar para otro momento que tenga ganas de
                  hacerlo. (Y tambien usar una ´plot pen´ mas fina...)

                  Un saludo.

                  Haz clic en la imagen para ampliar

Nombre:	zetariemann02 copy.jpg
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                  Comentario


                  • #10
                    Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

                    Y para acabar, una imagen de la superficie Zeta parcialmente sombreada...
                    Gracias. Un saludo y Feliz 2015 a todos.

                    Haz clic en la imagen para ampliar

Nombre:	limze53d3.jpg
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ID:	302500

                    Comentario


                    • #11
                      Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

                      Voy a calcular el error cometido:





                      Como el error es variable para cada punto de la superficie voy a calcularlo
                      para:

                      s = (0.5 + 1i); n = 20; Error = 1.36 x 10^-17
                      s = (0.5 + 25i); n = 20; Error = 2.88
                      s = (0.5 + 25i); n = 25; Error = 8.96 x 10^-5
                      s = (10 + 1i); n = 20; Error = 4.56 x 10^-18
                      s = (10 + 25i); n = 20; Error = 3.44 x 10^-1
                      s = (10 + 25i); n = 25; Error = 1.04 x 10^-5
                      s = (0.5 + 14.134725i); n = 20; Error = 4.64 x 10^-8
                      s = (0.5 + 21.022040i); n = 20; Error = 3.99 x 10^-3
                      s = (0.5 + 21.022040i); n = 25; Error = 1.21 x 10^-7

                      Un saludo.
                      Última edición por FVPI; 10/01/2015, 22:26:52. Motivo: calculo erroneo

                      Comentario


                      • #12
                        Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

                        Compruebo con la ecuacion funcional.







                        Lo he hecho para 4 valores de s:

                        (0.2+16i)



                        (0.5+0.5i)



                        (0.4+0.2i)



                        (0.5+0.2i)



                        Y 2 preguntas:
                        ¿Parece un resultado aceptable teniendo en cuenta que la ecuacion de Euler-
                        MacLaurin es aproximada...que la evaluacion de la funcion Gamma es
                        aproximada...que ´pi´ es un numero irracional y que yo solo puedo usar
                        15 digitos de precision?
                        ¿Es posible que para todo s=(0.5+ti) el resultado de la ecuacion funcional
                        sea (N+0i)?
                        Un saludo.

                        Comentario


                        • #13
                          Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

                          Estoy seguro que para todo s=(0.5+ti) el resultado de la ecuacion
                          funcional es (N+0i). Porque?
                          He hecho un ´scan´ de la seccion (0.5+ti) desde 0.0 < t < 25.0 de la
                          superficie funcional con los parametros compatibles con un tiempo
                          de maquina razonable...(n=30 para la ecuacion de Euler-MacLaurin
                          y 100000 productos para evaluar la funcion Gamma) y he visto que:
                          1.- El peor de los resultados que he obtenido es con s=(0.5,0.5i).
                          2.- Desde s=(0.5,0.0i) hasta s=(0.5,0.5i) la diferencia con el resultado
                          de la ecuacion funcional teorica (N+0i) crece continuamente en la parte
                          imaginaria desde aprox. 10^-18 hasta aprox. 10^-6.
                          3.- Desde s=(0.5,0.5i) hasta s=(0.5,25.0i) la diferencia con el resultado
                          de la ecuacion funcional teorica (N+0i) decrece continuamente en la parte
                          imaginaria desde aprox. 10^-6 hasta aprox. 10^-15.
                          4.- Por ejemplo:
                          Zeta(0.5,0.5i) = -0.4593028903460183 – 0.9612542845058785 i
                          Gamma(0.25,0.25) = 1.651132130027396 – 1.837876906856364 i
                          Pi^(-0.25,-0.25) = 0.7205761577727813 – 0.2120367524679909 i
                          Gamma*Pi = 0.8000689954645899 – 1.674430974748448 i
                          Ec. Func. = -1.977027950679422 + 1.236596212027122 x 10^-6 i
                          Es practicamente imposible que con estos valores de Zeta, Gamma y
                          Pi, la ecuacion funcional dé casi CERO en su parte imaginaria por azar
                          porque el error que yo habria cometido deberia ser muy importante.
                          5.- Y esto no sucede con solo Zeta(0.5,0.5i) sino con todos los valores
                          de s=(0.5,ti) calculados.
                          6.- La ecuacion funcional reproduce los ´ceros´ de la funcion Zeta
                          con una precision de como minimo aprox. 10^-8 en la parte real y
                          de aprox.10^-11 en la parte imaginaria y esto me indica que el calculo
                          es relativamente preciso...
                          7.- Me dá la impresion que el producto de la funcion Gamma por Pi
                          elimina la componente imaginaria de la funcion Zeta para la
                          seccion (0.5+ti)...(Algo que NO sucede para otras secciones como la
                          (0.4+ti))
                          8.- Y me dá la impresion que todas estas funciones estan ´forzadas´ a dar
                          los ´ceros´ en la seccion critica (0.5,ti) por cuestiones de simetria
                          con el punto (0.5,0.0i) y con el plano (Real(s)-(Real(Zeta),Imag.(Zeta),
                          Mod.(Zeta),Real(Gamma),Imag(Gamma),Mod.(Gamma),etc))
                          Un saludo.
                          Última edición por FVPI; 16/01/2015, 23:24:58. Motivo: crecer por decrecer

                          Comentario


                          • #14
                            Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

                            Disculpad que me autoconteste pero como no obtengo respuestas y a
                            medida que voy viendo cosas, voy teniendo mas dudas...al menos intento
                            que los pasos que dé sean matematicamente correctos.

                            He visto que:



                            O sea:



                            Y:



                            Y entiendo que:



                            Luego, al final me va a dar:



                            Si esto fuese correcto podria intentar evaluar la ecuacion funcional a partir
                            de la funcion Theta. Si??? No???
                            Un saludo.
                            Última edición por FVPI; 20/01/2015, 12:26:09. Motivo: error en formula

                            Comentario


                            • #15
                              Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

                              Anulo mi mensaje anterior. Porque:
                              1.- La ultima ecuacion pasada a calculo numerico NO funciona.
                              (Los resultados obtenidos no se parecen ni por casualidad).
                              2.- Me he equivocado pasando la integral a sumatorio porque:





                              Aunque la ecuacion funcional, creo, solo tiene parte real.
                              3.- No sé de donde se ha sacado (ó yo no lo he entendido) el que ha escrito
                              en la Wikipedia la primera ecuacion y la tercera...porque en un .PDF
                              de Catalina Calderon, del Dpto. de Matematicas de la U. del Pais Vasco
                              de 2002, (La funcion Zeta de Riemann), escribe:





                              Y estas ultimas me dan mas confianza que las anteriores que ahora, ya no
                              me dan ninguna confianza. En parte porque ya el primer termino de la ecuacion
                              1/(s(s-1)) dá un ´cero´ para la parte imaginaria en la seccion (0.5+ti) de la
                              superficie funcional.
                              No entiendo como se puede llegar a diferencias tan importantes en
                              ecuaciones...A menos que se esté hablando de funciones Theta diferentes...
                              a menos que yo no lo entienda o a menos que no haya ningun rigor
                              en lo que se escribe en la Wikipedia...
                              Un saludo.

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