tiro al arco

[jogares]

Un tirador de arco ha lanzado dos flechas y la segunda ha quedado situada peor que la primera. Si lanza una tercera flecha y eliminando la posibilidad de empate ¿Cuál es la probabilidad de que quede también peor que la primera?

[Machinegun]

Re: tiro al arco

Si este problema es de lógica o de ingenio, debe de ser muy lindo, pero yo francamente no veo ningún asidero para resolverlo, tal vez haya quien sí.

Saludos

[visitante20160513]

Re: tiro al arco

No, creo que no lo tiene. Hay que tener en cuenta que la distribución de probabilidades de hacer diana en un punto es desconocida y desde luego considerando solo los dos sucesos a) mejorar y b) no mejorar no son equiprobables ni nada que se le parezca ya que como mínimo dependen de la posición de la mejor tirada. Por ejemplo si la mejor tirada fuera una diana (imposible mejorarla) entonces la probabilidad de no mejorar sería 1 pero si la mejor tirada hubiera sido un mal tiro la probabilidad de no mejorar sería baja dependiendo de la calidad del tirador. En fin, que no tiene por donde cogerlo.

Salu2, Jabato.

[jogares]

Re: tiro al arco

[FONT=Arial]Os doy la razón. Este es un problema que encontré hace tiempo en una publicación en inglés con una solución que no me convencía y que quería contrastar. Os adjunto el original (se trata de tiro de dardis en ligar de tiro con arco). Saludos
"Q: Peter throws two darts at a dartboard, aiming for the center. The second dart lands farther from the center than the first. If Peter now throws another dart at the board, aiming for the center, what is the probability that this third throw is also worse (i.e., farther from the center) than his first? Assume Peter's skillfulness is constant.[/FONT]
[FONT=Arial]S: Since the three darts are thrown independently, they each have a 1/3 chance of being the best throw. As long as the third dart is not the best throw, it will be worse than the first dart. Therefore the answer is 2/3.[/FONT]
[FONT=Arial]Ranking the three darts' results from A (best) to C (worst), there are, a priori, six equiprobable outcomes.[/FONT]
[FONT=Arial]possibility # 1 2 3 4 5 6 1st throw A A B B C C 2nd throw B C A C A B 3rd throw C B C A B A[/FONT]
[FONT=Arial]The information from the first two throws shows us that the first throw will not be the worst, nor the second throw the best. Thus possibilities 3, 5 and 6 are eliminated, leaving three equiprobable cases, 1, 2 and 4. Of these, 1 and 2 have the third throw worse than the first; 4 does not. Again the answer is 2/3."

[/FONT]

[Machinegun]

Re: tiro al arco

Pues ahora resulta que a mí sí me convence la solución y es un problema sorprendente. Para explicarlo recurramos a un expediente estadístico: supongamos que un individuo lanza tres dardos cada día y se lleva un registro durante 600 días. Si prescindimos de toda consideración psicológica y suponemos una capacidad inalterable del individuo, vamos a encontrar que aproximadamente en 200 de los 600 días de registro, el mejor tiro fue el primero, y lo mismo esperaremos para el segundo tiro y para el tercero, puesto que no hay ninguna razón para suponer que el orden en que se tiran los dardos aumente o disminuya su probabilidad de ser el más certero de los tres. De hecho esperaríamos una distribución de los 6 posibles resultados como la siguiente:

1-2-3, 100 veces
1-3-2, 100 veces
2-1-3, 100 veces
2-3-1, 100 veces
3-1-2, 100 veces
3-2-1, 100 veces

Donde el orden de aparición indica el orden de lanzamiento y el número indica el lugar en que quedó el dardo. Por ejemplo 1-3-2 indica que el primer dardo fue el más certero, el segundo dardo fue el peor y el tercero fue el intermedio. Si ahora queremos analizar todos los casos en que el segundo tiro fue peor que el primero, tendríamos que considerar sólo los 300 casos en que esto ocurre, es decir: 1-2-3, 1-3-2 y 2-3-1. De esos 300 casos, sólo en 100 el tercero fue mejor que el primero, por lo tanto es válido suponer que la probabilidad de que el tercero sea peor que el primero es de 2/3. Parece increíble, pero todo indica que es cierto.

Saludos

[visitante20160513]

Re: tiro al arco

No, el el espacio muestral no es ese. Resulta que ya se han tirado 2 dardos luego los dos primeros tiros no aparecen en el cálculo y debemos suponer que ocupan posiciones aleatorias pero fijas, y ahora vamos a tirar el tercero. ¿Cual es la probabilidad de no mejorar? Las dos primeras tiradas no forman parte del conjunto de sucesos posibles o si deben formar parte el enunciado debería indicarlo para tener en cuenta las posiciones aleatorias de las dos primeras tiradas y no lo indica. No, no es ese el espacio muestral, aunque el enunciado resulta bastante confuso.

El experimento habría que hacerlo de otra forma, colocar aleatoriamente dos dardos en la diana y probar 600 veces a ver cuantas veces no mejoramos la mejor diana. Esa es la probabilidad que pide el enunciado y la que se calcula en la solución es otra bien distinta. La probabilidad dependería de la posición de los dos primeros dardos, que es lo que tiene sentido. Lo otro es un espejismo de los muchos que hay en el cálculo de probabilidades.

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Os pondré un ejemplo que trata de ilustrar la cosa. En una bolsa cerrada hay cuatro bolas, 3 blancas y una negra. Y una mano inocente extrae las dos primeras que resultan ser blancas, ¿cual es la probabilidad de que la tercera sea blanca también?

Solución 1: La probabilidad de que las tres primeras sean blancas sería: 3/4 · 2/3 · 1/2 = 6/24 = 25%

Solución 2: Como quedan dos bolas en la urna y solo una es blanca sería: 1/2 = 50%

¿Cual es la solución correcta?

Salu2, Jabato.

[Machinegun]

Re: tiro al arco

El experimento habría que hacerlo de otra forma, colocar aleatoriamente dos dardos en la diana y probar 600 veces a ver cuantas veces no mejoramos la mejor diana. Esa es la probabilidad que pide el enunciado y la que se calcula en la solución es otra bien distinta. La probabilidad dependería de la posición de los dos primeros dardos, que es lo que tiene sentido. Lo otro es un espejismo de los muchos que hay en el cálculo de probabilidades.

No, no es ningún espejismo. En el caso que propones, obviamente no podemos calcular probabilidades porque tienes dos puntos fijos, y la probabilidad dependería de qué tan cerca o lejos estén esos puntos, pero en el problema planteado aquí los puntos no son fijos porque dependen de cada juego de tres tiros. Es decir, si juegas a hacer 3 tiros 600 veces, obviamente vas a tener 1800 puntos en tu diana, mientras que en la forma que tú propones tendrías 602. No veo razón para que sea así.

Os pondré un ejemplo que trata de ilustrar la cosa. En una bolsa cerrada hay cuatro bolas, 3 blancas y una negra. Y una mano inocente extrae las dos primeras que resultan ser blancas, ¿cual es la probabilidad de que la tercera sea blanca también?

Solución 1: La probabilidad de que las tres primeras sean blancas sería: 3/4 · 2/3 · 1/2 = 6/24 = 25%
Solución 2: Como quedan dos bolas en la urna y solo una es blanca sería: 1/2 = 50%
¿Cual es la solución correcta?

La solución correcta es obviamente la segunda, porque ya tienes información. Si la solución correcta fuera la primera tendrías que la probabilidad de extraer una bola blanca es 1/4, la de extraer una negra es también 1/4, ¿y dónde quedría la otra mitad? En tu solución 1 no estás considerando la información que tienes de que ya dos bolas blancas salieron, por lo tanto esas dos bolas no pueden volver a salir. Es como si después de arrojar una moneda y de que alguien me informara que NO CAYÓ águila yo siguiera pensando que la probabilidad de que haya caído sol fuera 1/2; puesto que si no cayó águila yo ya tengo la certeza de que cayó sol, ya no hay otra posibilidad. Las probabilidades varían según la información de que dispongamos.

Saludos

[visitante20160513]

Re: tiro al arco

Pues lo mismo ocurre en el ejemplo de los dardos, si ya has tirado dos ¿cual es la probabilidad de que el tercero sea menor que el mejor de ellos? Ocurre exactamente lo mismo. Vuelve a leer el enunciado del problema. No se pide la probabilidad de que al tirar tres resulte un cierto orden, sino la probabilidad de que al tirar el tercero no sea el mejor.

Salu2, Jabato.

[Machinegun]

Re: tiro al arco

A ver, supongamos un juego que consiste en tres intentos para obtener el mayor número posible, entre 0 y 1, para lo cual obtengo tres número aleatorios (mayores que 0 y menores que 1, por supuesto) de un programa, por ejemplo de Excel. Entonces te digo "en mi segundo intento me salió un número menor que en el primero, ¿cuál será la probabilidad de que el tercer número sea también menor que el primero?" Si estás de acuerdo en que este es un caso similar al de los dardos entonces responderías que, por las razones que has aducido, no se puede saber cuál es esa probabilidad; sin embargo se puede hacer una sencilla simulación en Excel y comprobar que si repites el experimento digamos unas 600 veces, 2/3 de las veces que se presente el caso de que el primer número es mayor que el segundo, el tercer número también será menor que el primero. Yo ya hice la simulación y el resultado es contundente. Si no admites que se puede obtener la probabilidad apriori, tendrías que explicar por qué yo puedo saber que alrededor de 200 veces (de las aproximadamente 300 en que el primer número es mayor que el segundo) el tercer número es menor que el primero.

Saludos

[visitante20160513]

Re: tiro al arco

No, no. No es el mismo caso. Pongamos las cosas claras. Vamos al ejemplo de los dardos y supongamos para poder hacer un cálculo sencillo que los puntos de la diana son equiprobables y su área es $S=\pi R^2$, la probabilidad de acertar en una cierta región, $s$, de la diana sería entonces:

$dP=ds/S\qquad\to\qquad P=\displaystyle\iint_sda/S=s/S$

Con objeto de simplificar un poco los cálculos, supongamos que solo se ejecutan dos tiros y no tres. Tenemos dos formas de calcular la probabilidad, pero cada una calcula probabilidades distintas:

1.- La probabilidad de que, una vez realizado el primer tiro, el segundo sea peor: En este caso solo hay un suceso aleatorio, puesto que el enunciado presupone que el primer tiro ya se ha realizado y su probabilidad no debe entrar en los cálculos. En ese caso si suponemos que el primer dardo ha caido a una distancia $r$ del centro de la diana, la probabilidad de que el segundo tiro fuera peor sería:

$P=\pi (R^2-r^2)/\pi R^2=(R^2-r^2)/R^2=1-r^2/R^2$

que depende lógicamente de la posición del primer dardo.

2.- La probabilidad de que el segundo tiro sea peor que el primero: Pues según la forma de calcular en el enunciado solo hay dos posibilidades, que el segundo tiro sea peor o mejor, por lo tanto el espacio muestral solo tiene dos posibilidades, y por lo tanto la probabilidad es del 50%. A este resultado se puede llegar también considerando dos sucesos aleatorios y utilizando la distribución de probabilidad que he propuesto más arria, pero ¡OJO!, se trata de dos sucesos aleatorios y el cálculo de probabilidad los incluye a ambos. Deberían considerarse las probabilidades de ambos sucesos compuestas para realizar el cálculo. El resultado de dicho cálculo debería ser 50%.

$P=\displaystyle\int_0^R (1-r^2/R^2)\left(\frac{2\pi rdr}{\pi R^2}\right)=2\displaystyle\int_0^1 (1-x^2)xdx=1/2=50\%$

Como en el enunciado original de este hilo se afirma que los dos primeros lanzamientos ya se han realizado y que se busca la probabilidad de que el tercero no mejore la tirada obtenida la forma de realizar el cálculo debería ser la primera y no la segunda, pero lo resuelve usando la segunda forma de cálculo. Resumiendo, en el enunciado original se pide la probabilidad de un suceso aleatorio, pero se calcula la probabilidad compuesta de tres sucesos aleatorios (dos en mi ejemplo), por lo tanto el cálculo mostrado en el primer mensaje de este hilo no es correcto.

Salu2, Jabato.

[Machinegun]

Re: tiro al arco

Para poner las cosas lo más claras posible, dime: ¿estás de acuerdo conmigo en que si el juego consiste en obtener tres números aleatorios (entre 0 y 1) en secuencia, y que si sabemos que el segundo número fue menor que el primero, entonces la probabilidad de que el tercero (que todavía no hemos obtenido) sea también menor que el primero es de 2/3? Si estás de acuerdo conmigo en eso, lo demás lo dejamos así: tú seguirás creyendo que no se puede comparar al caso de los dardos y yo seguiré pensando que sí. ¿Te parece correcto?

Saludos

[visitante20160513]

Re: tiro al arco

Pues dejame ver, creo que no. Si debemos elegir para un evento (la tercera extracción), dos posibles resultados, el 0 o el 1, ambos equiprobables, y como resultado favorable solo tenemos el 0, pues la probabilidad es del 50%, es decir 1/2. Y volvemos a plantear la misma cuestión, lo que tu me pides que calcule es la probabilidad de que en la tercera tirada salga el 0 porque es el unico resultado favorable, pero considerando que es un evento único entonces la probabilidad es 1/2. Las propbailidades de las dos primeras tiradas no deben tenerse en cuenta porque ya se han producido y conocemos los resultados, la primera fué 1 y la segunda fué 0. En absoluto puedo estar de acuerdo con esa afirmación.

Ponte un simil a ver si lo entiendes. Pon hipotéticamente en una sala un conjunto muy grande de mesas en las que se hacen las tres extracciones, y hazlo de manera que en todas las mesas se hayan producido ya las dos primeras extracciones, el 1 y el 0 por este orden, y a continuación procede a realizar la última extracción en todas las mesas, verás que en la mitad de las mesas debe salir el 1 y en la otra mitad el 0. Por lo tanto la probabilidad es 1/2. Es tan elemental que no comprendo como te niegas a aceptarlo.

Salu2, Jabato.

[Machinegun]

Re: tiro al arco

No, Jabato, creo que no me expliqué bien: cuando hablo de un número aleatorio entre 0 y 1, me refiero a un número decimal mayor que cero y menor que 1, por ejemplo 0.0243561. De tal modo que tengo una cantidad potencialmente infinita de posibilidades, pero dejémoslo en 6 o 7 cifras para que el riesgo de empate sea muy reducido. Entonces el punto es: si un juego consiste en sacar tres números decimales aleatorios mayores que cero y menores que 1 y sabemos que el segundo número que se obtuvo es menor que el primero, entonces, antes de obtener el tercer número te pregunto, ¿estás de acuerdo conmigo en que la probabilidad de que el tercero sea también menor que el primero es de 2/3? Si estás de acuerdo conmigo en esto, lo demás lo dejamos así: tú seguirás creyendo que no se puede comparar al caso de los dardos y yo seguiré pensando que sí.

Saludos

[visitante20160513]

Re: tiro al arco

No. Esa probabilidad depende de cuales sean los valores obtenidos en las primeras tiradas, por ejemplo, aceptando que todos los casos son equiprobables, tenemos que si el mayor de dichos números, el primero, fue el 0,83 entonces la probabilidad que dices es:

$P=\displaystyle\frac{\mu (casos\ favorables)}{\mu (casos\ totales)}=0,83/1=0,83$

No puede ser que dicha probabilidad sea independiente del valor obtenido en la primera tirada. Si la primera tirada hubiera sido el 0,00083 entonces dicha probabilidad sería exactamente:

$P=\displaystyle\frac{\mu (casos\ favorables)}{\mu (casos\ totales)}=0,00083/1=0,00083$

evidentemente mucho más baja que en el primer caso. Ten en cuenta que la segunda tirada no influye en el cálculo, solo nos asegura que el valor en la primera tirada no fue 0, pero no influye en el cálculo de la probabilidad siempre que dicho cálculo se produzca justo antes de realizar la última tirada.

Vuelve a reproducirse el mismo fenómeno que antes, si consideras la última tirada como el suceso cuya probabilidad queremos calcular, la probabilidad es como la calculo yo, ahora bien si consideras la probabilidad compuesta de los tres sucesos (las tres tiradas) y el cálculo se produce antes de realizar ninguna de ellas entonces sí, entonces la probabilidad es 2/3, es lo mismo que antes, y si quieres te vuelvo a repetir el cálculo componiendo las tres probabilidades para ver que el resultado es 2/3, pero no cuando ya se han realizado las dos primeras tiradas porque el cálculo no es el de los tres sucesos compuestos sino el de un solo suceso, concretamente el suceso es la última tirada, y precisamente cuando ya se han producido las dos primeras.

Salu2, Jabato.

[Machinegun]

Re: tiro al arco

A la pregunta que te hago me contestas que no, ¿verdad? Es decir, si un juego consiste en sacar tres números decimales aleatorios mayores que cero y menores que 1 y sabemos que el segundo número que se obtuvo es menor que el primero, entonces, antes de obtener el tercer número, la probabilidad de que el tercero sea también menor que el primero según tú no es de 2/3. Si esa es tu respuesta, entonces tendrías que explicar cómo yo puedo saber que aproximadamente 2/3 de las veces que cualquiera juegue ese juego (si lo hace el suficiente número de veces) el tercer intento saldrá un número menor que el primero SIEMPRE QUE EL SEGUNDO INTENTO TAMBIÉN HAYA SIDO MENOR.
Tal vez mi punto quede más claro si pongo un ejemplo simplificado: Supongamos que voy a lanzar dos veces un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo tiro sea mayor que el primero (suponiendo que ignoramos los empates)? Si la pregunta se hace así nada más, obviamente la respuesta es 1/2 puesto que sólo hay dos resultados posibles: 1) el primer tiro es mayor, 2) el primer tiro es menor, y los dos resultados son equiprobables. La probabilidad cambia cuando se CONOCE el dato de lo que cayó en el primer tiro, pero si no se conoce ese dato la probabilidad será de 1/2. Pues lo mismo ocurre con las flechas o dardos: en el planteamiento no se dice qué tan lejos o cerca dieron los tiros, de manera que el cálculo es como yo lo propongo.

Saludos