Otras carreras Campo eléctrico en cascaron esférico

[el_gabi]

Buenas, estoy haciendo un ejercicio que plantea la siguiente situación: se tienen dos cascarones esféricos conectados a una batería V0, concentricos de radios a y b y en el medio de ellos hay un material ohmico de conductividad g.
Piden entre otras cosas el campo eléctrico. Esta primera parte la resolví planteando el laplaceano del potencial, viendo los temas de simetría solo depende de la variable r (el radio), e imponiendo las condiciones de borde llego sin problemas.
Ahora la siguiente parte dice que se desconecta la batería en un tiempo t=0, y pide hallar el campo eléctrico desde t=0 en adelante.
Como encaro ese problema?
Gracias saludos!!

[Julián]

Re: Campo eléctrico en cascaron esférico

$\dst \nabla . \vec{J}= \sigma \nabla .\vec{E} = - \frac{\partial \rho}{\partial t}$

$\dst \sigma \nabla .\vec{E}= - \frac{\partial \nabla .\vec{E} }{ \varepsilon \partial t}$

Resolviendo la ecuación diferencial

$\dst \frac{\partial \nabla .\vec{E}}{ \nabla .\vec{E}}=- \frac{ \sigma}{\varepsilon} \partial t$

$\dst (\nabla . \vec{E}(t)) = ({\nabla . \vec{{E}_{0}}}) {e}^{- \frac{ \sigma}{\varepsilon} t } = \frac{ {\rho}_{0}}{\varepsilon} {e}^{- \frac{ \sigma}{\varepsilon} t }$

Lo mejor sería utlizar coordenadas esféricas

$\dst \frac{1}{{r}^{2}} \frac{\partial ({r}^{2} {E}_{r})}{\partial r} = \frac{1}{\varepsilon} {\rho}_{0} {e}^{- \frac{ \sigma}{\varepsilon} t }$


$\dst \frac{2 {E}_{r}}{r}= \frac{1}{\varepsilon} {\rho}_{0} {e}^{- \frac{ \sigma}{\varepsilon} t }$

$\dst {E}_{r}(t) = \frac{r {\rho}_{0}}{2 \varepsilon} {e}^{- \frac{ \sigma}{\varepsilon} t }$

Ah y $\sigma$ es la conductividad del material, ${\rho}_{0}$ es la densidad de carga inicial, antes que se desconecte la fuente, que ya la has calculado con el laplaciano.

[el_gabi]

Re: Campo eléctrico en cascaron esférico

Gracias por tu respuesta, luego de utilizar coordenadas esféricas al tomar \frac{\partial{r}^{2}{E}_{r} }{\partial r }, tomo la derivada como la derivada del producto pero me falta un termino, según mis cuentas quedaría 2r{E}_{r}+{r}^{2}\frac{\mathrm{d} E }{\mathrm{d} r }; porque omites el segundo término??
Gracias y saludos!

[Julián]

Re: Campo eléctrico en cascaron esférico

La divergencia para el término del radio es:

$\dst \frac{1}{{r}^{2}} \frac{\partial ({r}^{2} {E}_{r})}{\partial r}$

[el_gabi]

Re: Campo eléctrico en cascaron esférico

Si, cuando calculas la derivada con respecto a r de lo que hay adentro del parentesis deberian quedar dos terminos por la regla de la derivada del producto... Porque descartas uno de esos terminos?

[Julián]

Re: Campo eléctrico en cascaron esférico

Claro, lo que pasa es que en el comentario anterior me saltie pasos y luego puse la resolución de la ecuación diferencial, ya que a la misma la resolví por software (porque con herramientas para que la vamos a hacer a mano?). Pero si quieres todos los pasos

$\dst \frac{1}{{r}^{2}} (2r {E}_{r} + {r}^{2} \frac{\partial {E}_{r} }{\partial r}) =\frac{ \rho}{\varepsilon} {e}^{-\frac{\sigma}{\varepsilon}t}$

$\dst (2 \frac{{E}_{r}}{r} + \frac{\partial {E}_{r} }{\partial r}) =\frac{ \rho}{\varepsilon} {e}^{-\frac{\sigma}{\varepsilon}t}$

Ahora resolviendo la ecuación diferencial nos queda.

$\dst {E}_{r} = \frac{r \rho}{2 \varepsilon} {e}^{-\frac{\sigma}{\varepsilon}t}$