Secundaria Conductor rectilíneo

[Jorge 2014]

Tengo aquí un ejercicio que no sé hacer y dice:

"Se somete aun conductor, inicialmente sobre el eje X (horizontal) y sentido positivo, a un campo magnético girado con respecto al de la figura (donde aparece en sentido positivo del eje vertical Y), que forma 30º con el eje Z y 60º con el eje Y". ¿A qué fuerza se encuentra ahora sometido el conductor por unidad de longitud? Explíquese el módulo, dirección y sentido. Datos: B = 0,25 T; I = 4 A

Sé que $\vec{{F}_{m}} = I \cdot (\vec{l} \times \vec{B})$, y si ahora forma 60º con B, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , pero ni idea de la dirección y sentido...

[arivasm]

Re: Conductor rectilíneo

La dirección de cualquier producto vectorial es perpendicular a los operandos. Por tanto, será perpendicular a la dirección del conductor y al campo magnético. Respecto del sentido, aplica la regla de mano derecha. Otra alternativa que tienes es manejar los vectores explícitamente y hacer la operación (ya sabes, con el determinante formado por la base cartesiana y las componentes de los vectores).

[Jorge 2014]

Re: Conductor rectilíneo

Perdonad que haya vuelto a abrir el hilo después de tanto tiempo, pero en clase hemos retomado el tema y me han vuelto a entrar dudas.

Sé que es perpendicular, pero ¿cómo se describe el vector? Habrá que ponerlo en las componentes de $\vec{i}$, $\vec{j}$ y $\vec{k}$, expresándolo como una suma. Y yo no sé nada de matrices y no sé cómo hacerlo

[angel relativamente]

Re: Conductor rectilíneo

¿Estás en 2º de bachillerato?
Si es así y estás dando esto en Física sin que te hayan explicado aún en mates (por que lo harán en breves) cómo calcular un producto vectorial no pasa nada porque te adelantes un poco. En mi caso recuerdo que nos explicaron a hacer determinantes y prod. vectoriales en la primera clase de Física por si lo necesitábamos. Busca cómo hacer un determinante 3x3 mediante la regla de Sarrus que es mecánico y sencillo. Ahora si llamamos $\vec l =l_x \vec i + l_y \vec j + l_z \vec k$ y $\vec B =B_x \vec i + B_y \vec j + B_z \vec k$, el producto vectorial de $\vec l \times \vec B$ lo calculas mediante el determinante

$$\vec l \times \vec B = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ l_x & l_y & l_z \\ B_x & B_y & B_z\end{vmatrix}$$

La I que multiplica delante solo multiplicará al vector resultante de ese producto vectorial.

Espero que con esto te aclares.

Un saludo,

[Jorge 2014]

Re: Conductor rectilíneo

Sí, estoy en 2º de bachillerato, pero los profesores...

En fin, no sé cómo expresarlos con vectores. Me dice que lo B lo gira de modo que forma 60º con Y y 30º con Z. ¿Cómo traduzco eso a vectores unitarios?

[angel relativamente]

Re: Conductor rectilíneo

Si $\vec B$ forma 60º con el eje Y quiere decir que su componente en Y es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , mientras que su componente en Z es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (y entiendo que $B_x=0$). Por tanto [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[alexpglez]

Re: Conductor rectilíneo

Hola, no entendí muy bien la orientación para calcular el problema, lo mejor es con el determinante, si no sabes calcularlo, es sencillo, se elige una fila o columna, después se saca cada término de la fila o columna que queda multiplicando a un determinante más pequeño que lleva la matriz anterior pero quitándole la fila y columna del coeficiente que multiplica al determinante, además se sigue un orden de +, -, +, -, +, así hasta que en el determinante quede sólo un escalar..
Es decir para calcular nuestro determinante:

$$\vec l \times \vec B = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ l_x & l_y & l_z \\ B_x & B_y & B_z\end{vmatrix}$$

Escogemos la fila de los vectores unitarios, es decir, nos queda i por determinante, - j por otro determinante, k por determinante.

$$\vec l \times \vec B = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ l_x & l_y & l_z \\ B_x & B_y & B_z\end{vmatrix}=\vec \imath \begin{vmatrix} l_y & l_z \\ B_y & B_z\end{vmatrix} - \vec \jmath \begin{vmatrix} l_x & l_z \\ B_x & B_z\end{vmatrix} + \vec k \begin{vmatrix} l_x & l_y \\ B_x & B_y \end{vmatrix}$$

Y cada determinante se calcularía siguiendo la misma regla así, por ejemplo el primero:

$$\begin{vmatrix} l_y & l_z \\ B_y & B_z\end{vmatrix}= l_y \begin{vmatrix} B_z\end{vmatrix} - l_z \begin{vmatrix} B_y\end{vmatrix}=l_yB_z-l_zB_y$$

Así que si no me he equivocado en nada:

$$\vec l \times \vec B = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ l_x & l_y & l_z \\ B_x & B_y & B_z\end{vmatrix}=\vec \imath \begin{vmatrix} l_y & l_z \\ B_y & B_z\end{vmatrix} - \vec \jmath \begin{vmatrix} l_x & l_z \\ B_x & B_z\end{vmatrix} + \vec k \begin{vmatrix} l_x & l_y \\ B_x & B_y \end{vmatrix}=$$

$$\vec \imath (l_yB_z-l_zB_y) - \vec \jmath (l_xB_z-l_zB_x) + \vec k (l_xB_y-l_yB_x)$$

$$\vec l \times \vec B = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ l_x & l_y & l_z \\ B_x & B_y & B_z\end{vmatrix}=(l_yB_z-l_zB_y)\vec \imath + (l_zB_x-l_xB_z)\vec \jmath + (l_xB_y-l_yB_x)\vec k$$

[angel relativamente]

Re: Conductor rectilíneo

se elige una fila o columna, después se saca cada término de la fila o columna que queda multiplicando a un determinante más pequeño que lleva la matriz anterior pero quitándole la fila y columna del coeficiente que multiplica al determinante, además se sigue un orden de +, -, +, -, +, así hasta que en el determinante quede sólo un escalar..

Para no liar al compañero remarco que esta es OTRA forma de calcular el determinante. Aunque es más general que la regla de Sarrus que te pongo ya que la otra solo se aplica al 3x3, usando lo que dice alex o usando el enlace que te he puesto llegarías a lo mismo.

[Jorge 2014]

Re: Conductor rectilíneo

Bueno, a ver si lo he pillado (no me dan $\vec l$):

$\vec l \times \vec B = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ l_x & l_y & l_z \\ B_x & B_y & B_z\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ l_x & 0 & 0 \\ 0 & B_y & B_z\end{vmatrix} = 0 + ({B}_{y}$ $\cdot {l}_{x}) \vec k + 0 - ({B}_{z} \cdot {l}_{x}) \vec j \to |\vec l \times \vec B | = \sqrt{{({B}_{y} \cdot {l}_{x})}^{2} + {({B}_{z} \cdot {l}_{x})}^{2}}$. Por lo tanto:

$\vec F = I \cdot ( \vec l \times \vec B) \to F = I \cdot \sqrt{{({B}_{y} \cdot {l}_{x})}^{2} + {({B}_{z} \cdot {l}_{x})}^{2}} \to {F}^{2} = {I}^{2} \cdot {{l}_{x}}^{2} \cdot ({{B}_{y}}^{2} + {{B}_{z}}^{2}) \to$ $\frac{F}{ l} = I \cdot \sqrt{{{B}_{y}}^{2} + {{B}_{z}}^{2}}$

[angel relativamente]

Re: Conductor rectilíneo

Correctísimo. Si quisieras el vector, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]