1r ciclo Determinar vectores y valores propios. AYUDA

[Microwave]

Buenas! Este es mi primer hilo. Hace tiempo que leo desde las sombras pero me decidí hacerme cuenta por un problema que me tiene confusa. Bueno, al lio.

Me piden determinar los valores y vectores propios de B*A siendo A=(a1,…,an) y B={(b1,…,bn)}^{ t}

La verdad es que no se como empezar… ¿una ayuda?

[Weip]

Re: Determinar vectores y valores propios. AYUDA

En este ejercicio sigue el procedimiento general. Primero haz el producto $BA$. Calcula $BA-xId$ (que no es más que $BA$ pero restándole una $x$ a todos los elementos de la diagonal). Saca las raíces del polinomio $det(BA-xId)=0$ (a este polinomio se le llama polinomio característico). Estas raíces serán los valores propios. Para los vectores propios, plantea el sistema $(BA-xId)v=0$ (en este parte fíjate en la multiplicidad de los valores propios). $x$ es cada valor propio. Es decir, tendrás un sistema por cada $x$.

Cualquier duda pregunta, pero este procedimiento lo encontrarás detallado por internet, es fácil de encontrar. La dificultad está en que es un ejercicio teórico y eso a veces te hace perder el objetivo.

[Microwave]

Re: Determinar vectores y valores propios. AYUDA

En este ejercicio sigue el procedimiento general. Primero haz el producto $BA$. Calcula $BA-xId$ (que no es más que $BA$ pero restándole una $x$ a todos los elementos de la diagonal). Saca las raíces del polinomio $det(BA-xId)=0$ (a este polinomio se le llama polinomio característico). Estas raíces serán los valores propios. Para los vectores propios, plantea el sistema $(BA-xId)v=0$ (en este parte fíjate en la multiplicidad de los valores propios). $x$ es cada valor propio. Es decir, tendrás un sistema por cada $x$.

Cualquier duda pregunta, pero este procedimiento lo encontrarás detallado por internet, es fácil de encontrar. La dificultad está en que es un ejercicio teórico y eso a veces te hace perder el objetivo.

Gracias por responder!
Es bastante sencillo entonces (conceptualmente)! Entonces multiplicando $BA$ me quedaría una matriz nxn. Al no darnos datos concretos resulta algo abstracto, pero explicando como hallar el polinomio característico y los autovalores y como de ellos saco los autovectores, el ejercicio quedaría solucionado ¿es así?

[Weip]

Re: Determinar vectores y valores propios. AYUDA

Gracias por responder!
Es bastante sencillo entonces (conceptualmente)! Entonces multiplicando $BA$ me quedaría una matriz nxn. Al no darnos datos concretos resulta algo abstracto, pero explicando como hallar el polinomio característico y los autovalores y como de ellos saco los autovectores, el ejercicio quedaría solucionado ¿es así?

Sí. Explicándolo y encontrando valores y vectores propios explícitamente. Te quedará todo teórico con letras pero es lo que hay. De hecho incluso es más fácil así porque no te has de romper la cabeza resolviendo un determinante numérico, factorizando un polinomio complicado... que siempre te puedes equivocar en estas cosas si hay números de por medio.

[Breogan]

Re: Determinar vectores y valores propios. AYUDA

Hola:

Teniendo presente que lo antedicho por Weip es correcto, me entraron dudas acerca de la interpretación del enunciado propuesto:

Buenas! Este es mi primer hilo. Hace tiempo que leo desde las sombras pero me decidí hacerme cuenta por un problema que me tiene confusa. Bueno, al lio.

Me piden determinar los valores y vectores propios de B*A siendo A=(a1,…,an) y B={(b1,…,bn)}^{ t}

La verdad es que no se como empezar… ¿una ayuda?

Primero aclarar que están mal escritas las matrices, la forma correcta sería (en el caso de ser cuadradas):

$\dst A = (a_{i;j}) = ( a_{1,1}; ....... ; a_{n,n})$

En el enunciado que vos pones aparece la matiz B como el resultado de otra matriz transpuesta, lo reescribo reinterpretandolo:

$\dst B=\begin{pmatrix} & b_{1,1} & \ldots & b_{1,n} \\ & \vdots & \ & \vdots \\ & b_{n,1} & \ldots & b_{n,n}\end{pmatrix} = B'^t = \begin{pmatrix} & b'_{1,1} & \ldots & b'_{1,n} \\ & \vdots & \ & \vdots \\ & b'_{n,1} & \ldots & b'_{n,n}\end{pmatrix}^t$

En este caso a lo dicho por Weip, habría que sumarle como 1º paso la transposición señalada, luego el producto de matrices, para por ultimo hallar los autovalores y autovectores pedidos.

Usando mas la imaginación también lo podríamos interpretar que la matiz B es el resultado de otra matriz elevada a la t, lo reescribo reinterpretandolo:

$\dst B=(b_{1,1} ; ..... ; b_{n,n}) = B'^t = (b'_{1,1} ; ..... ; b'_{n,n})^t$

La operación de la potencia de una matriz solo tiene formula de recurrencia para el caso de que esta sea una matriz diagonalizable y exponente t entero. Así que si hubiera que tener en cuenta este echo el problema cambia, y lo dicho por Weip no alcanza para resolverlo.

Por esto es conveniente, para obtener una mejor ayuda, que siempre transcribas el total del enunciado tal y cual te lo dieron.

s.e.u.o.

Suerte

[Microwave]

Re: Determinar vectores y valores propios. AYUDA

Hola:

Teniendo presente que lo antedicho por Weip es correcto, me entraron dudas acerca de la interpretación del enunciado propuesto:



Primero aclarar que están mal escritas las matrices, la forma correcta sería (en el caso de ser cuadradas):

$\dst A = (a_{i;j}) = ( a_{1,1}; ....... ; a_{n,n})$

En el enunciado que vos pones aparece la matiz B como el resultado de otra matriz transpuesta, lo reescribo reinterpretandolo:

$\dst B=\begin{pmatrix} & b_{1,1} & \ldots & b_{1,n} \\ & \vdots & \ & \vdots \\ & b_{n,1} & \ldots & b_{n,n}\end{pmatrix} = B'^t = \begin{pmatrix} & b'_{1,1} & \ldots & b'_{1,n} \\ & \vdots & \ & \vdots \\ & b'_{n,1} & \ldots & b'_{n,n}\end{pmatrix}^t$

En este caso a lo dicho por Weip, habría que sumarle como 1º paso la transposición señalada, luego el producto de matrices, para por ultimo hallar los autovalores y autovectores pedidos.

Usando mas la imaginación también lo podríamos interpretar que la matiz B es el resultado de otra matriz elevada a la t, lo reescribo reinterpretandolo:

$\dst B=(b_{1,1} ; ..... ; b_{n,n}) = B'^t = (b'_{1,1} ; ..... ; b'_{n,n})^t$

La operación de la potencia de una matriz solo tiene formula de recurrencia para el caso de que esta sea una matriz diagonalizable y exponente t entero. Así que si hubiera que tener en cuenta este echo el problema cambia, y lo dicho por Weip no alcanza para resolverlo.

Por esto es conveniente, para obtener una mejor ayuda, que siempre transcribas el total del enunciado tal y cual te lo dieron.

s.e.u.o.

Suerte

Gracias por responder Breogan. No sé si te he entendido del todo, pero el enunciado que he puesto es tal cual me piden el ejercicio. Dado que como has señalado me dan:

$\dst A = (a_{i}) = ( a_{1}; ....... ; a_{n})$, solo con un subíndice; yo había interpretado que se trataba de una matriz fila siendo la matriz traspuesta de B una matriz columna de n términos, por lo que:

$\dst BA=\begin{pmatrix} & b_{1} a_{1} & \ldots & b_{1} a_{n} \\ & \vdots & \ & \vdots \\ & b_{n} a_{1} & \ldots & b_{n} a_{n}\end{pmatrix}$

¿Es correcto?
Otra duda, ¿de aquí cómo puedo sacar la determinante de la matriz $BA - \lambda$I? Sé que para matrices muy grandes puedo hallar su determinante haciendo $det A=a_{1,j} det A_{1,j} + ... + a_{n,j} det A_{n,j}$ sucesivamente, hasta que se reduzca el determinante hasta ser de 2x2, pero aquí no puedo utilizar esta fómula, ¿no? ¿Cómo podría continuar?
Muchas gracias.

[Weip]

Re: Determinar vectores y valores propios. AYUDA

Hola:

Teniendo presente que lo antedicho por Weip es correcto, me entraron dudas acerca de la interpretación del enunciado propuesto:



Primero aclarar que están mal escritas las matrices, la forma correcta sería (en el caso de ser cuadradas):

$\dst A = (a_{i;j}) = ( a_{1,1}; ....... ; a_{n,n})$

En el enunciado que vos pones aparece la matiz B como el resultado de otra matriz transpuesta, lo reescribo reinterpretandolo:

$\dst B=\begin{pmatrix} & b_{1,1} & \ldots & b_{1,n} \\ & \vdots & \ & \vdots \\ & b_{n,1} & \ldots & b_{n,n}\end{pmatrix} = B'^t = \begin{pmatrix} & b'_{1,1} & \ldots & b'_{1,n} \\ & \vdots & \ & \vdots \\ & b'_{n,1} & \ldots & b'_{n,n}\end{pmatrix}^t$

En este caso a lo dicho por Weip, habría que sumarle como 1º paso la transposición señalada, luego el producto de matrices, para por ultimo hallar los autovalores y autovectores pedidos.

Usando mas la imaginación también lo podríamos interpretar que la matiz B es el resultado de otra matriz elevada a la t, lo reescribo reinterpretandolo:

$\dst B=(b_{1,1} ; ..... ; b_{n,n}) = B'^t = (b'_{1,1} ; ..... ; b'_{n,n})^t$

La operación de la potencia de una matriz solo tiene formula de recurrencia para el caso de que esta sea una matriz diagonalizable y exponente t entero. Así que si hubiera que tener en cuenta este echo el problema cambia, y lo dicho por Weip no alcanza para resolverlo.

Por esto es conveniente, para obtener una mejor ayuda, que siempre transcribas el total del enunciado tal y cual te lo dieron.

s.e.u.o.

Suerte

Hola Breogan. A mi al principio me pasó como a ti, me confundí porque pensaba que Microwave usaba notación de columnas. Pero leyendo mejor el enunciado entendí que $A$ es un vector fila y $B$ un vector columna (la $t$ es de traspuesta según interpreto). Con esto, $BA$ es una matriz nxn normal y corriente.

$\dst BA=\begin{pmatrix} & b_{1} a_{1} & \ldots & b_{1} a_{n} \\ & \vdots & \ & \vdots \\ & b_{n} a_{1} & \ldots & b_{n} a_{n}\end{pmatrix}$

¿Es correcto?

Sí.

Otra duda, ¿de aquí cómo puedo sacar la determinante de la matriz $BA - \lambda$I? Sé que para matrices muy grandes puedo hallar su determinante haciendo $det A=a_{1,j} det A_{1,j} + ... + a_{n,j} det A_{n,j}$ sucesivamente, hasta que se reduzca el determinante hasta ser de 2x2, pero aquí no puedo utilizar esta fómula, ¿no? ¿Cómo podría continuar?

No te hace falta calcular el determinante a piñón, los argumentos teóricos suelen ayudar mucho en estos casos. Fíjate que los elementos de la matriz $BA-\lambda Id$ son polinomios del anillo $K(\lambda)$. Además, un determinante solo incluye sumas, restas y productos entre los elementos de la matriz. Es decir, sumas, restas y productos de polinomios en nuestro caso. Todas estas operaciones entre polinomios de $K(\lambda)$ te van a dar un polinomio de $K(\lambda)$, así que usando este argumento puedes escribir directamente que el determinante es el polinomio característico. De hecho es así como se demuestra que ese determinante es un polinomio.

Es un poco raro que te den un ejercicio así porque prácticamente es copiar lo que te han dicho (o te deberían haber dicho) en las clases de teoría.

[Breogan]

Re: Determinar vectores y valores propios. AYUDA

Hola:

Tenes razón, me pasa por leer por encima el enunciado; la interpretación de matrices fila o columna la descarte pues hacia el producto $A B^t$ y me daba un escalar, y no el que pedía el enunciado $B^t A$.

Suerte