1r ciclo Potencial y carga Casquete

[Nachoooou]

Holas gente . Buscando ejercicios en guías de internet, pillé este problema y no sé como atacarlo ya que siento que falta un poco más de información, en todo caso publico mi avance (que de seguro está malo ) pero es como creí que podría ser.

"Un casquete conductor esférico cargado tiene un radio interior 9.9 cm y radio exterior 10.0 cm, tiene
un potencial eléctrico de 150 V. Cuando una pequeña esfera cargada se ubica en el centro del
casquete, el potencial eléctrico de la esfera decae a 110 V."

a) ¿Cuánta es la carga neta del casquete?
b) ¿Cuánta es la carga neta de la esferita?

****Intenté llevarlo todo a la formula de potencial y quise asumir que el casquete era un hemisferio, debido a que faltan datos para poder trabajar con un casquete sin coordenadas polares, y en este caso me mareo demasiado con ellas(debido a que todavía no domino bien ese ámbito).****

$\dd V =\frac{K\dd q}{r}$

Aplicando integral me quedó :

$\frac{V}{K }= \int _{ri}^{re}{\frac{\dd q}{r} }$ con "re" como radio exterior y "ri" como radio interior ...

Luego usando la definición $\dd q = \rho 2\pi{r}^{2} \dd r$ , donde $2\pi{r}^{2}$ es el area del hemisferio.

Y reemplacé $\frac{V}{K }= \int _{ri}^{re}{\frac{\rho 2\pi{r}^{2} \dd r}{r} }$

Donde obtuve : $\frac{V}{K }= \rho 2\pi \int _{ri}^{re} r\dd r$ luego $\frac{V}{K \pi}= \rho { r^{ 2 } }_{ ri }^{ re }$ luego iba a despejar $\rho$ e igualarlo a $\frac{Q}{Vol}$ e igualar $V$ a 150 [FONT=arial][V][/FONT]

Quisiera saber si de ser el caso, con todo lo que supuse, el enfoque que le dí al problema es el correcto, aunque de seguro no porque con el enfoque que le dí, tengo el problema de no saber si poner la diferencia de volumenes de hemisferios como $Vol$ o poner solo el volumen del hemisferio ocupando un solo radio o que mi desarrollo esté completamente malo. Desde ya muchas gracias !

[Al2000]

Re: Potencial y carga Casquete

Camarada, yo creo que se usa incorrectamente la palabra casquete en el enunciado y que debería decir cascarón o cáscara. Yo entiendo que un casquete (y veo que tú también) es media esfera ahuecada (vamos, como una cacerola) y si así fuera el problema sería extremadamente complejo, por la distribución no uniforme de la carga en el casquete.

Ahora, asumiendo que el autor se está refiriendo a una esfera hueca (cascarón), el problema se puede resolver simplemente usando el conocimiento del potencial que produce una cáscara esférica y el principio de superposición.

Permíteme recordarte que el potencial que produce un cascarón conductor de radio $R$ cargado con carga $Q$, vale (asumiendo el cero en el infinito):

$$V_{(r)} = \left \{\begin{matrix}\dst \frac {k Q} R, & 0 \leqslant r \leqslant R \\ \\ \dst \frac {k Q} r, & R \leqslant r < \infty \end{matrix}\right .$$

En tu problema, llamemos $R_1$, $R_2$, $Q$ y $q$ los radios interno y externo del cascarón, su carga y la carga de la esferita, respectivamente. Para el inciso a), la carga del cascarón reside completamente en su superficie externa y su potencial será:

$$V = \frac {k Q}{R_2}$$

de donde se obtiene inmediatamente la carga del cascarón, 1.67 nC con los valores numéricos indicados.

Para el inciso b), debes considerar que la presencia de la carga $q$ modifica la distribución de cargas del cascarón. No te debe ser difícil demostrar, usando el teorema de Gauss y el principio de conservación de la carga, que el cascarón quedará cargado con una carga $-q$ en su superficie interna y una carga $Q + q$ en su superficie externa. El potencial en cualquier punto del cascarón será ahora la superposición de los potenciales de la esferita, la carga superficial interna y la carga superficial externa:

$$V' = \frac {k q} r + \frac {k (-q)} r + \frac {k (Q + q)} {R_2} = \frac {k (Q + q)}{R_2}$$

Como ya conoces $Q$ y el nuevo potencial $V'$, la determinación de $q$ es inmediata (-0.457 nC con los valores dados).

Saludos,

$\mathcal A \ell$