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Espectro y subespacios de operadores

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  • 2o ciclo Espectro y subespacios de operadores

    Buenos días,

    se me plantea un ejercicio en el que piden que calcule los espectros e indique cómo son los subespacios de dos operadores. Es la primera vez que me encuentro con que se cómo actúa un operador sobre su base y me piden que diga algo sobre el espectro.

    Por un lado el A (a continuación los defino) me resulta demasiado obvio, los autovalores son n^2 y los subespacios, una combinación lineal de un vector de ceros con un n^2 en la posición n-ésima. Además, no me especifica la dimensión, por lo que no se si debo obtener la expresión matricial de A, pero luego me pregunta cosas sobre CCOC y matrices densidad para las que sí necesito el operador como una matriz.

    Por otro, sobre el B no se que decir, pues lo único que se me ocurre es que sea una matriz identidad que tenga permutadas las filas n y -n, pero no me dice mucho tampoco pues una matriz no tiene índices -n...

    Sobre los operadores se dice que son:

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    Muchas gracias a todos.

  • #2
    Re: Espectro y subespacios de operadores

    Hola.

    No se como te han explicado cuántica, pero imaginarte los estados del espacio vectorial como columnas de infinitas componentes, muchas de ellas cero, no resulta muy util.



    A tiene infinitos autovalores, dados por . Cada autovalor(salvo n=0), es doblemente degenerado.

    El subespacio vectorial de autoestados de A para cada autovalor tiene dimension 2 (salvo para n=0, que tiene dimension 1). Hay dos autoestados independientes y , para cada autovalor .

    B Tiene dos autovalores, que son +1 y -1. Esto puedes verlo porque , donde I es la identidad. Los autoestados correspondientes son , para +1, y , para -1. Cada autovalor es infinitamente degenerado.

    El subespacio vectorial de autoestados de B para cada autovalor tiene dimension infinita.
    Para cada n puedes construir un autoestado de +1, y uno de -1 (salvo n=0).


    Faltaría demostrar que A y B forman un conjunto completo de observables que conmutan. Te lo dejo.


    Un saludo

    Comentario


    • #3
      Re: Espectro y subespacios de operadores

      Muchísimas gracias, me queda claro.

      Sólo una cosa. Mencionas que el operador A tiene autovalor cero, pero cero no cumple la relación A(phi)n=0 para ningún vector distinto de cero. ¿Se me escapa algo?
      Última edición por Albandres; 28/04/2015, 17:12:21.

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