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Hilo: Geodésicas y no geodésicas.

  1. #1
    Avatar de natanael
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    Predeterminado Geodésicas y no geodésicas.

    Las secuelas de este hilo titilado: Geodésicas y no geodésicas., vienen de un hilo titulado: Antigravedad?, así que mejor comienzo con mis referencias.

    Luego de que landau expusiera las matemáticas (que sólo entiende él) para llegar a:

    R_i^k-\frac{1}{2}\delta_i^kR=\frac{8\pi k}{c^4}T_i^k\;\;.................\;\;(95.6)

    Viene y dice:
    Éstas son precisamente las ecuaciones de campo gravitatorio buscadas --- las ecuaciones fundamentales de la teoria de la relatividad general. Se las llama ecuaciones de Einstein.

    Contrayendo (95.6) respecto de los índices i y k, se encuentra,

    R=-\frac{8\pi k}{c^4}T;\;\;.................\;\;(95.7)

    (T=T_i^l). Por consiguiente, las ecuaciones del campo se pueden escribir también en la forma

    R_i^k=\frac{8\pi k}{c^4}\left(  T_i^k-\frac{1}{2}g_{ik}T  \right).\;\;.................\;\;(95.8)

    Observese que las ecuaciones del campo gravitatorio no son lineales. El principio de superposición no es válido, pues, para los campos gravitatorios, en contraposición con el caso del campo electromagnético en la teoría de la relatividad especial.

    Sin embargo, es necesario no perder de vista que, de hecho, se trata por lo general de campos gravitatatorios débiles, para los que las ecuaciones del campo son lineales en primera aproximación (véase el párrafo siguiente); para tales campos, y en esta aproximación, el principio de superposición es válido.

    En el espacio vacío T_i^k=0 y las ecuaciones del campo gravitatorio se reducen a

    R_i^k=0.\;\;.................\;\;(95.9)

    Recordemos que esto no significa, en modo alguno, que en el vacío el espacio-tiempo sea plano; para ello deberían cumplirse las condiciones más fuertes R_{klm}^i=0.

    El tensor energía impulso del campo electromagnético tiene la propiedad de que T_l^i=0 [véase (33.2)]. De (95.7) se sigue entonces que cuando existe un campo electromagnético y no existe masa alguna, la curvatura escalar del espacio-tiempo es igual a cero.

    Conforme sabemos, la divergencia del tensor energía-impulso es nula:

    T_{i;k}^k=0\;\;.................\;\;(95.10)

    Por consiguiente, la divergencia del primer miembro de la ecuación (95.6) debe ser también a cero. Esto se deduce directamente de la identidad (92.13)

    Las ecuaciones (95.10) están así contenidas, esencialmente, en las ecuaciones del campo (95.6). Por otra parte, las ecuaciones (95.10), que expresan la ley de la conservación de la energía y el impulso, contienen las ecuaciones del movimiento del sistema físico al que se refiere el tensor energía impulso (es decir, las ecuaciones del movimiento de las partículas materiales o el segundo par de ecuaciones de Maxwell). Las ecuaciones del campo gravitatorio contienen también, por consiguiente, las ecuaciones de la materia que produce el campo. Las ecuaciones del campo electromagnético (ecuaciones de Maxwell), en cambio, contienen tan sólo las ecuaciones de conservación de la carga total (ecuación de continuidad), pero no las ecuaciones del movimiento de las cargas que lo producen.

    Por tanto, en el caso del campo electromagnético, la distribución y movimiento de las cargas puede fijarse arbitrariamente, con tal que se conserve de carga total; si se fija la distribución de esta carga, el campo producido por ellas queda determinado por las ecuaciones de Maxwell. En un campo gravitatorio, en cambio, las distribución y el movimiento de la materia que lo produce no se pueden fijar de manera arbitraria --- por el contrario, deben determinarse (resolviendo las ecuaciones del campo para condiciones iniciales dadas) a la vez que el campo producido por esta misma materia.

    Hay que observar, sin embargo que las ecuaciones de Einstein del campo gravitatorio no determinan por completo la distribución y el movimiento de la materia. En efecto, dichas ecuaciones no incluyen las ecuaciones de estado de la materia, es decir, las ecuciones que ligan la presión con la densidad. Estas ecuaciones deben darse junto con las ecuaciones del campo. y bla bla bla bla bla.

    bla bla bla ...

    Si interesa resolver las ecuaciones de Einstein para condiciones iniciales dadas (respecto del tiempo), se plantea la cuestión de para cuántas cantidades se pueden dar arbitrariamente las distribuciones iniciales en el espacio.

    Las condiciones iniciales para las ecuaciones de segundo orden deben incluir las distribuciones tanto de las propias magnitudes que se derivan, como de sus derivadas primeras respecto del tiempo. Sin embargo, dado que en el presente caso la ecuaciones contienen derivadas segundas de tan sólo las seis componentes g_{\alpha\beta}, en las condiciones iniciales no se pueden dar arbitrariamente todos los valores g_{ik} y \dot{g}_{ik}. Así, es posible dar (junto con la velocidad y densidad de la materia) los valores iniciales de las funciones g_{\alpha\beta} y \dot{g}_{\alpha\beta}, con lo cual, y a partir de las 4 ecuaciones (95.12) se determinan los valores iniciales admisibles g_{0\alpha} y \dot{g}_{00} y bla bla bla.

    Con esto es suficiente para no sacar de contexto.

    Toto esto que he citado arriba es una parte del capítulo 11 del libro de landau Teoría Clásica de lo Campos llamado Ecuaciones del Campo Gravitatorio.

    El capítulo anterior a éste se titula Partícula en un Campo Gravitatorio. En muchas partes de este capítulo se adjetiva a la partícula de "libre". También se habla de la equivalencia entre un sistema de refencia no inercial y cierto campo de fuerzas:

    CITA:
    En el párrafo anterior se demostró que un sistema de referencia no inercial equivale a cierto campo de fuerzas. Vemos ahora que en mecánica relativista estos campos estan determinados por las cantidades g_{ik}.

    También dice por allí (textualmente): "las propiedades geométricas del espacio-tiempo (su métrica) están determinadas por fenómenos físicos y no son propiedades invariables del espacio y del tiempo".

    En fin, lo más importante es que llega a las ecuaciones de movimento de una partícula en un campo gravitatorio como una generalización de la relatividad especial:
    CITA: capítulo 87:
    es más sencillo encontrar las ecuaciones del movimiento de una partícula en un campo gravitatorio mediante un generalización apropiada a la ecuación diferencial correspondiente al movimiento libre de una partícula en la teoría de la relatividad especial, es decir, en un sistema de coordenadas cuadrimensional galileano.

    Luego llega a la formula:

    \frac{d^2x^i}{ds^2}+\Gamma_{kl}^i\frac{dx^k}{ds}\frac{dx^i}{ds}=0\;\;.................\;\;(87.3)

    Diciendo después: "Ésta es precisamente la ecuación de movimiento buscada".

    Según la wikipedia, las trayectorias que satisfacen esta ecuación son geodésicas. (Ya que estaríamos hablando de una partícula libre)

    Luego viene landau y generaliza (OJO: a partir de la relatividad especial) a las ecuaciones del movimiento de una partícula cargada en un campo gravitatorio:

    mc\frac{Du^i}{ds}=mc\left( \frac{du^i}{ds}+\Gamma_{kl}^iu^ku^l \right)=\frac{e}{c}F^{ik}u_k.\;\;....

    En este caso, mis conocimientos matemáticos no dan para deducir si las líneas de universo (solución de esta ecuación) que salen de esta ecuación son o nó geodésicas del espacio-tiempo con la métrica inicial. Pero lo más probable es que no lo sean.

    Obviamente el tensor métrico usado en esta última ecuación se dá por adelantado, es decir, se impone como sustituto de un campo gravitatorio.

    Ahora, en la primera cita "larga" de landau que escribí al principio se deja muy claro que en las ecuaciones de campo de einstein está todo (con alguno que otro detalle respecto de las escuaciones de estado de la materia). Inclusive incluye las ecuaciones de movimiento de las partículas, nó por imposición, sino por la dinámica implícita en las propias ecuaciones de campo, que no son, en modo alguno, una "generalización de la relatividad especial" para sistemas no inerciales.

    Pero... ¡esperemos un segundo!.

    Resolver las ecuaciones de campo de einstein es encontrar un tensor métrico que satisfaga dicha igualdad (a partir de ciertas condiciones iniciales dadas por la distribución de materia, su velocidad y los campos electromagnéticos que vienen en el tensor energía-impulso). Entonces: ¿Cómo es posible que en dicha ecuación se encuentren las ecuaciones de movimiento si lo que se obtiene de ella es un tensor métrico?, ¿Luego ese tensor métrico no es el que debería usarse para hallar las ecuaciones de movimiento (geodésicas)?

    La respuesta a la primera pregunta es que (a mi entender), en analogía con el electromagnetismo de Maxwell, una partícula de prueba en ese espacio-tiempo solución no altera el propio espacio-tiempo. No le queda de otra que seguir una geodésica del tipo:

    \frac{d^2x^i}{ds^2}+\Gamma_{kl}^i\frac{dx^k}{ds}\frac{dx^i}{ds}=0\;\;.................\;\;(87.3)

    Es decir, la propia forma del espacio-tiempo es la solución para todas las partículas.

    Pero si existiesen campos electromagnéticos que no han sido incluidos en la solución espacio-temporal (OJO: estos vienen en (95.10), aquellos que se introduen en el tensor energía-impulso), entonces tenés que usar:

    mc\frac{Du^i}{ds}=mc\left( \frac{du^i}{ds}+\Gamma_{kl}^iu^ku^l \right)=\frac{e}{c}F^{ik}u_k.\;\;....

    Pero resulta pasa y acontece que en las ecuaciones de campo de einstein el campo electromagnético se introduce nó directamente, sino como una especie de potencial implícito en en tensor energía-impulso.

    Luego la propia ecuación diferencial (ecuación de campo de einstein) contempla la "dinámica geométrica" entre todas estás magnitudes, claro está, dadas como una distribución de materia y energía.

    Nótese como landau mensiona el hecho de que una curvatura escalar igual a cero no implica que el espacio sea plano. Esto que parece contradecir la intuición puede explicarse con un cono hecho de papel. Ya que el cono es isométrico a una hoja de papel plana, se deduce entonces que su curvatura gauss es cero. Sin embargo en esa superficie cónica presenta geodésicas guiadas en todo caso por las las otras curvaturas principales.

    Iguatilo debe suceder en un espacio-tiempo solución (que incluya TODO), es decir, los campos de fuerzas "no gravitatorios" (vistos como sistemas no inerciales) deben hacer que el espacio-tiempo no sea plano, sin embargo eso no implica que éstos contribuyan a la curvatura escalar, sino a otras curvaturas que en conjunto dan forma al tensor métrico en las ecuaciones de campo.

    Así que vuelvo y repito (voy a ser más específico esta vez): En un espacio-tiempo (solución) donde se incluya la tierra, la mesa y el vaso (incluyendo el tensor energía-impulso con todos los campos electromagnéticos que crean la "fuerza" normal sobre el baso), cada uno de ellos sigue una geodésica.

    No tendría sentido volver incluir un tensor campo electromagnético en (90.7) para hallar "nuevas líneas de universo", si el tensor métrico usado ya es una solución (en teoría muy complicada de resolver numéricamente) de las ecuaciones de campo. Ya que dicha solución complempla absolutamente todo! (según lo citado en la primera parte por landau)

    Ergo la mesa es una máquina "antigravitatoria". ... ¡Qué picado soy!

    carroza, quizás yo esté omitiendo un detalle en todo este razonamiento, y si quieres hacermelo saber (cosa que agradecería muchísimo ), vas a tener que ser más específico que dar una afirmación simplista.

    Ya que tu afirmación se basa en la simplicidad de considerar una métrica de Schwarzschild (la cual no contempla campos electromagnéticos) para luego usar (90.7) y decir que la mesa y el vaso no siguen geodésicas debidas a la normal. En ese caso partícular tienes toda la razón, pero en el caso general creo que no.
    Escrito por pod: Así que crear vida no es más que poner todos los ingredientes básicos en un medio donde puedan ir reaccionando. Y esperar que se acaben produciendo las reacciones necesarias, para que se vayan formando los compuestos adecuados.
    Escrito por Mandinguita: Podemos entender la vejez como un proceso de acumulación de entropía, hasta que llega a niveles incompatibles con mantener un organismo estructurado y el ser vivo muere.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Geodésicas y no geodésicas.

    Hola.

    Las soluciones de tu ecuación (87.3) son geodésicas.

    Las ecuaciones de tu ecuación (90.7) no son geodésicas. Son las ecuaciones de un objeto, en un campo gravitatorio, sometido también a otras fuerzas, no gravitatorias.

    Si la mesa fuera una máquina antigravitatoria, entonces no solamente impediría que cayeran los vasos, sino también los muones, neutrinos y rayos cósmicos en general, que, hasta lo que yo se, atraviesan las mesas sin problema. Y además, soportaría no sólo un vaso, sino también un elefante. Y si el efecto de la mesa depende de la naturaleza de lo que sobre ella se coloque, entonces no es gravitatorio. Es otra cosa.


    Un saludo.
    Última edición por carroza; 12/06/2015 a las 09:07:09.

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