1r ciclo Transformación de Galileo y grupos

[javier m]

Hola, hace unos días me preguntaron por este ejercicio, y pues, a mí me parece que está mal escrito, no tiene sentido, o es falso:

Es este:

"
Considere dos observadores $O \to x^1,x^2$ y $\bar{O} \to \bar{x}^1, \bar{x}^2$ y sus sistemas de coordenadas asociados.

Considere la siguiente transformación de coordenadas de Galileo
$\bar{x}^1=V^1t+\frac{\sqrt{2}}{2} x^1-\frac{\sqrt{2}}{2} x^2$

$\bar{x}^2=V^2t+\frac{\sqrt{2}}{2} x^1+\frac{\sqrt{2}}{2} x^2$

Con $V^1$ y $V^2$ las componentes de una velocidad relativa entre $O - \bar{O}$ y $t$ al tiempo, parámetro de esta transformación. Muestre que este tipo de transformaciones de coordenadas forman un grupo."

La transformación parece ser una rotacion de 45° seguida de un boost de Galileo, y eso no parece ser un grupo, o parece que el enunciado ni sentido tiene

Qué pensás vosotros?

[Jose D. Escobedo]

Re: Transformación de galieo y grupos

Trata con esta matrix:

$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2 } & -\frac{\sqrt{2}}{2 } & V^1 \\ \frac{\sqrt{2}}{2 } & \frac{\sqrt{2}}{2 } & V^2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$, por lo pronto se que existe el inverso porque su determinante es 1. Como es una matrix 3 por 3 la propiedad de "closure" esta en la familia de matrices 3 por 3. La propiedad asociativa se cumple, pero eso te lo dejo a que tu pruebes. La matrix con diagonal (1 1 1) es la identidad. Es decir yo no le veo lo mal escrito, para mi si tiene sentido y es verdadero.

Saludos.

[javier m]

Re: Transformación de galieo y grupos

Gracias por la respuesta.

La matriz idéntica no es una matríz de ese estilo: $0 \neq \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 1$

Y la clausura tampoco veo que se cumpla: El producto de 2 matrices de esa forma, no da una de esa forma

[Jose D. Escobedo]

Re: Transformación de galieo y grupos

En donde dice la definicion de grupo que eso tiene que ser asi. Puedo seguir argumentando, pero mejor piensale otro poquito.

Saludos

[javier m]

Re: Transformación de galieo y grupos

¿Se supone que el grupo es (isomorfo a) este

$\{ A_{V^1, V^2} : V^1, V^2 \in R \}$

donde $A_{V^1, V^2}=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2 } & -\frac{\sqrt{2}}{2 } & V^1 \\ \frac{\sqrt{2}}{2 } & \frac{\sqrt{2}}{2 } & V^2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

y la operación es el producto de matrices?

Si es así, ese conjunto no tiene el elemento neutro (la matriz identidad) ni es cerrado, luego no es grupo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Transformación de galieo y grupos

Eleva esa matriz a la 8, para ver que pasa.

saludos

[javier m]

Re: Transformación de galieo y grupos

Ok, vale

$(A_{V^1, V^2})^8=I$, con lo que $(A_{V^1, V^2})^7$ sería la inversa de $A_{V^1, V^2}$.

Y ahí estaría el elemento neutro y el inverso.
Y la asociativa se hereda de $M_{3 \times 3}$

Pero igual no es cerrado.

$(A_{V^1, V^2})^8, (A_{V^1, V^2})^7 \not \in \{ A_{V^1, V^2} : V^1, V^2 \in R \}$

[Jose D. Escobedo]

Re: Transformación de galieo y grupos

Si lo que quieres es buscar un grupo isomorfo tal vez funcione el grupo de soluciones de la ecuacion: $x^8-1=0$ bajo la multiplicacion. Me parece que es suficiente la explicacion hasta aqui porque se que eres inteligente. A mi me gustaría cambiar la rigurosidad en matematicas por la claridad!

Saludos

[Breogan]

Re: Transformación de galieo y grupos

Hola:

Transcribo el problema:

Considere dos observadores $O \to x^1,x^2$ y $\bar{O} \to \bar{x}^1, \bar{x}^2$ y sus sistemas de coordenadas asociados.

Considere la siguiente transformación de coordenadas de Galileo
$\bar{x}^1=V^1t+\frac{\sqrt{2}}{2} x^1-\frac{\sqrt{2}}{2} x^2$

$\bar{x}^2=V^2t+\frac{\sqrt{2}}{2} x^1+\frac{\sqrt{2}}{2} x^2$

Con $V^1$ y $V^2$ las componentes de una velocidad relativa entre $O - \bar{O}$ y $t$ al tiempo, parámetro de esta transformación. Muestre que este tipo de transformaciones de coordenadas forman un grupo."

Aclaro que poco se del tema, así que pido disculpas en forma anticipada si digo alguna burrada.

Como ya han dicho las transformaciones indicadas se pueden resumir en una sola ecuación matricial:

$\dst \begin{pmatrix} \bar{x}^1 \\ \bar{x}^2 \\ \bar{t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2 } & -\frac{\sqrt{2}}{2 } & V^1 \\ \frac{\sqrt{2}}{2 } & \frac{\sqrt{2}}{2 } & V^2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ t \end{pmatrix}$

Podemos descomponer la matriz de 3x3, en un producto de dos matrices:

$\dst A = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2 } & -\frac{\sqrt{2}}{2 } & V^1 \\ \frac{\sqrt{2}}{2 } & \frac{\sqrt{2}}{2 } & V^2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} =$$\dst \begin{pmatrix} 1 & 0 & V^1 \\ 0 & 1 & V^2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2 } & -\frac{\sqrt{2}}{2 } & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2 } & \frac{\sqrt{2}}{2 } & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = T R$

Entonces el sistema queda:

$\dst \bar{\bold{x}} = A \ \bold{x} = \left( T R \right) \bold{x} = T \left( R \ \bold{x} \right)$

Por lo cual se ve que la transformación propuesta consiste en una rotación de $\dst \pi / 4$ seguida de una traslación.
El conjunto de las transformaciones posibles incluirán solo rotaciones de 45º y las infinitas traslaciones posibles, tal como escribió javierm esto quedaría descrito como:

$\dst K = \left\{ A \ | \left( V^1 , V^2 \right) \ \in \ \mathbb{R}^2 \right\} \quad \wedge \quad A = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2 } & -\frac{\sqrt{2}}{2 } & V^1 \\ \frac{\sqrt{2}}{2 } & \frac{\sqrt{2}}{2 } & V^2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Si lo analizamos un poco podemos ver que dos transformaciones sucesivas siempre nos va a dar una rotación de $\dst \pi/2$, la cual no esta incluida en nuestro conjunto K (solo contiene rotaciones de $\dst \pi / 4$). Por esto, no cumple la ley de cerradura, (K , .) no es un grupo.
Cabe consignar que en K tampoco existe el elemento neutro, que seria equivalente a una rotación nula (o de 360º) con traslación nula.

Hay otra forma de interpretar el enunciado, forzando un poco la interpretación de este cuando nos dice que "...... este tipo de transformaciones de coordenadas .....", podemos proponer la siguiente transformación "tipo" de forma general:

$\dst \begin{pmatrix} \bar{x}^1 \\ \bar{x}^2 \\ \bar{t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & - \sqrt{1-a^2} & V^1 \\ \sqrt{1-a^2} & a & V^2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ t \end{pmatrix} \ \forall \ a \ \in \ [0 , 1]$

y en base a esto definimos un nuevo conjunto K1 de las posibles transformaciones:

$\dst K_1 = \left\{ A \ | \ a \ \in \ [0 , 1] \ \wedge \ \left( V^1 , V^2 \right) \ \in \ \mathbb{R}^2 \right\} \quad \wedge \quad A = \begin{pmatrix} a & - \sqrt{1-a^2} & V^1 \\ \sqrt{1-a^2} & a & V^2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Y, sin demostrarlo (lo dejo si te interesa hacerlo), creo que (K1 , .) si es un grupo:

Disculpas por los posibles errores cometidos.

s.e.u.o.

Suerte

PD: en las definiciones se usa el símbolo $\wedge$ en lugar de "y"; no se si ahora se sigue usando pero cuando yo estudiaba era así.

Suerte

[Jose D. Escobedo]

Re: Transformación de galieo y grupos

Pido disculpas por el post #8 porque pense que era evidente lo que decia.

La notacion $(Av^1, v^2)^8 , (Av^1, v^2)^8 \notin \left\{Av^1, v^2: V^1, V^2 \in R \right\}$ es poco clara y criptica, porque se tiene que explicar que es cada uno de esos simbolos, para que uno sepa que esta hablando de lo mismo, por ejemplo: cuando se escribe $(Av^1, v^2)$ esta hablando de dos numeros en plano, de un vector, o de que se habla . Se mas o menos que es $\in$, se que significa que es elemento, que pertenece o algo por el estilo no lo aseguro al 100% porque luego me caen diciendo esa no es la definicion rigurosa, bla, bla,... $R$ creo que es el cojunto de los reales, que por cierto para mi su definicion no es clara o rigurosa para una mayoria de personas en las mates.

Hablando un poco fisica, la dificultad de entender esta pregunta radica en que se esta hablando un sistema no relativista y por lo tanto el $t$ es como lo concebia Newton. Entonces el tiempo esta en igual condicion para los dos observadores.
Se puede hablar de que hay una transformation de $(x^1, x^2, t)\to (\bar{x}^1, \bar{x}^2, t)$, esta transformacion puede ser de una de $3 \to 3$ o de $2,1 \to 2,1$ considerando que el tiempo sea una coordenada o que no lo sea, por eso se adoptan convenciones como el grupo $N(3,1)$ o el grupo $SO(3)$.

Volviendo a la pregunta de forma abreviada, esta dice que: Dada $\vec{u} = A \vec{v}$, prueba que $A$ es un grupo (de acuerdo con ciertas las condiciones dadas). $V^1$ y $V^2$ estan en los reales, pero eso no me interesa porque estas representan las magnitudes de las velocidades que son constantes arbitrarias. Despues la pregunta natural seria porque $A$ representa la transformacion, porque transforma a un vector en otro, es el operador, es la transformacion misma.

Luego la transformacion que es el grupo puede ser escrito como $G=\left( A_1, A_2,...,A_8\right)$ donde $G$ significa grupo (no se si esta notacion fue adoptada por grupo o por Galois), y $A_i$ representa los elementos de ese grupo. Para comprobar que esto sea un grupo se recurre a su definicion. Luego $A_1^2=A_2\ldots A_1^i=A_i$ bajo la operacion binaria de la "multiplicacion" aunque abrevie con la potenciacion para ahorrarme de decir que el elemento generador es $A_1$. Entonces, el grupo de matrices es una familia de matrices que tiene "entries" de ciertos numeros en la fila uno y dos, pero que la fila # tres siempre tiene los "entries" (0, 0, 1), la identidad es $A_1^8$, es cerrado $A_2 A_2=A_4$, es mas si multiplica 20 veces $A_1$ por si mismo, se obtendra ${A_1}^{20}$, pero agrupando de 8 que es periodo esto se reduce a ${A_1}^{20}={A_1^8 }{A_1^8}{ A_1^4}=A_4$ que esta en el grupo, porlo tanto "closure" se cumple. Es decir que este es un grupo ciclico. En cuanto a inversos cada matriz tiene su inverso, por ejemplo: el inverso de $A_8$ es el mismo, el inverso de $A_7$ es $A_1$, el inverso de $A_3$ es $A_5$ y asi sucesivamente. El grupo es asociativo, es mas tambien en abeliano.

Otra cosa que a mi causa confusion es el post#5 un isomorphismo con sigo mismo que no seria un automorphismo. Si lo que quiero es establecer un isomorphismo puedo establecer un mapeo de estas matrices con las soluciones de $x^8-1=0$, o con un octagono bajo la rotacion como transformacion.

Disculpen las faltas de ortografia

Saludos

[javier m]

Re: Transformación de galieo y grupos

Básicamente yo estoy de acuerdo con el mensaje de Breogan, que considero muy completo y explica muy bien mi posición.

Pido disculpas por el post #8 porque pense que era evidente lo que decia.

La notacion $(Av^1, v^2)^8 , (Av^1, v^2)^8 \notin \left\{Av^1, v^2: V^1, V^2 \in R \right\}$ es poco clara y criptica, porque se tiene que explicar que es cada uno de esos simbolos, para que uno sepa que esta hablando de lo mismo, por ejemplo: cuando se escribe $(Av^1, v^2)$ esta hablando de dos numeros en plano, de un vector, o de que se habla . Se mas o menos que es $\in$, se que significa que es elemento, que pertenece o algo por el estilo no lo aseguro al 100% porque luego me caen diciendo esa no es la definicion rigurosa, bla, bla,... $R$ creo que es el cojunto de los reales, que por cierto para mi su definicion no es clara o rigurosa para una mayoria de personas en las mates.
Saludos

Por $A_{V^1, V^2}$ me estoy refiriendo a una matriz:

$A_{V^1, V^2}=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2 } & -\frac{\sqrt{2}}{2 } & V^1 \\ \frac{\sqrt{2}}{2 } & \frac{\sqrt{2}}{2 } & V^2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$R$ es, en efecto, el conjunto de lo reales.

Luego la transformacion que es el grupo puede ser escrito como

En eso llevas razón, $G$ como lo defines es grupo.

El problema está en que la interpretación que le damos al problema es distinta. Para mí el conjunto que debo considerar no es $G$, sino $\{ A_{V^1, V^2} : V^1, V^2 \in \mathbb{R} \}$, esto es, el conjunto de las matrices $A_{V^1, V^2}$ tales que $V^1$ y $V^2$ pertenezcan a los reales.

Dicho esto, lo que único que cabría discutir es cual es la interpretación correcta.

Otra cosa que a mi causa confusion es el post#5 un isomorphismo con sigo mismo que no seria un automorphismo. Si lo que quiero es establecer un isomorphismo puedo establecer un mapeo de estas matrices con las soluciones de , o con un octagono bajo la rotacion como transformacion.

Disculpa lo del isomorfismo, no ayudó mucho que lo mencionara. Lo escribí por una bobada: Resulta que el enunciado me habla de Transformaciones, y yo estoy hablando de Matrices, que estrictamente hablando, no son la misma cosa. Por eso hablo de isomorfismo: Un isomorfismo del conjunto de transformaciones al conjunto de matrices, que a cada transformación le asigne su respectiva matriz.

Saludos!!