1r ciclo Base de autovectores comunes

[Pepealej]

Hola, tengo el siguiente ejercicio. Creo comprender qué es una base de autovectores comunes, y entiendo que los opradores deben conmutar para que pueda existir una (en este caso conmutan). También he visto un ejemplo en el libro 100 Problemas de Física Cuántica, de Estrada, pero no lo explican muy bien.

Alguien me podría echar una mano con este ejercicio y explicarme cómo lo va resolviendo? Gracias!

Sean los operadores en $H=\mathbb{C}^3$

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ ; $B=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\0 & 2 & 0\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Encontrar una base de autovectores comunes.

[carroza]

Re: Base de autovectores comunes

Hola.

Si llamas a los estados de tu base $|1>, |2> y |3>$, entonces puedes comprobar que:

|1> es autovector de A correspondiente al autovalor 1.
|2> es autovector de A correspondiente al autovalor 0.
|3> es autovector de A correspondiente al autovalor 1.

Por tanto, cualquier combinación lineal de |1> y |3>, es también autovector de A correspondiente al autovalor 1. En concreto, ${1 \over \sqrt{2}} |1> +{1 \over \sqrt{2}} |3>$ y
${1 \over \sqrt{2}} |1> -{1 \over \sqrt{2}} |3>$ son autovectores de A correspondientes al autovalor 1.

Por otro lado, diagonalizando B, es facil ver que

${1 \over \sqrt{2}} |1> +{1 \over \sqrt{2}} |3>$ es autovector de B correspondiente al autovalor 2
|2> es autovector de B correspondiente al autovalor 2.
${1 \over \sqrt{2}} |1> -{1 \over \sqrt{2}} |3>$ es autovector de B correspondiente al autovalor 0.

Por tanto, por inspección, puedes darte cuenta que:

${1 \over \sqrt{2}} |1> +{1 \over \sqrt{2}} |3>$ es autovector de A correspondiente al autovalor 1 y es autovector de B correspondiente al autovalor 2
|2> es autovector de A correspondiente al autovalor 0 y es autovector de B correspondiente al autovalor 2.
${1 \over \sqrt{2}} |1> -{1 \over \sqrt{2}} |3>$ es autovector de A correspondiente al autovalor 1 y es autovector de B correspondiente al autovalor 0.

Con lo que tienes tu base de autovectores comunes.

Saludos