Divulgación h-bar=c=1

[Niaar]

Buenas a todos!

Me gustaría que alguien me ayudara a entender esto

He visto que menudo, en libros y trabajos sobre física, se acostumbra a dejar más bonita la ecuación (o para reducir los cálculos) usando h-bar=c=1 (constante reducida de Plank sea igual a 1, igual que la velocidad de la luz sea igual a 1) ¿Qué sifnificado tiene esto? Quiero decir, como va a ser h-bar=c ??? Entiendo que se use c como la unidad en algunos casos, o sea h la unida. Pero decir que h-bar=c es pasarse no?

PD: Perdón, pero no se como poner la constante de Plank con el "palito" arriba para reducirla xd

[alexpglez]

Re: h-bar=c=1

No quiere decir que h=c en unidades, si no que se toman las dos =1, una tiene unidades de acción y la otra de velocidad. El tomarse las dos =1 es porque siempre puedes escribir las unidades de longitud, tiempo, etc. tal que h y c se puedan tomar =1. Son las llamadas unidades de planck. Por una parte es útil ya que no intervienen las constanted numéricas, pero sin embargo se debe acordarse que están en unidades de planck.
Un saludo

[visitante20160513]

Re: h-bar=c=1

$\hbar$

haz doble click sobre el símbolo y veras el código LaTex que se necesita para que aparezca.

[pod]

Re: h-bar=c=1

Es lo que se llama sistema de unidades naturales. Eso es un nombre genérico, hay diferentes tipos de unidades naturales dependiendo del problema que se trata.

Se basa en que podemos elegir el sistema de unidades que más nos convenga para simplificar los cálculos. Lo que hacemos es aprovechar las constantes universales para definir unidades que sean más naturales al sistema objeto de estudio. Por ejemplo, en algo que sea relativista, la velocidad de la luz es una constante que nos aparecerá en todas partes. Si la hacemos igual a 1, simplificaremos mucho las ecuaciones. Es una velocidad, así que si c=1 significa que tenemos una relación entre la unidad de distancia y la de tiempo. Significa que podemos medir distancia con unidades de tiempo; o podemos medir tiempo con unidades de distancia.

Esto puede sonar muy raro, pero en realidad estamos muy acostumbrados a hacerlo: seguro que has oído muchas veces la unidad "año-luz". Estamos muy acostumbrados al Sistema Internacional, donde tenemos unidades distintas para ambas magnitudes, pero no hay nada en la Física que fuerce a que sea así. No hay ninguna ley o principio Físico que implique que dos magnitudes diferentes deban tener unidades diferentes. Por ejemplo, en el SI también hay algunas magnitudes que, por casualidad (o no) coinciden: la energía y el torque (momento de una fuerza) ambos se miden en las mismas unidades (por bien que cuando hablamos de torque no solemos decir Joule, sino el equivalente $\mathrm{kg \, m^2 / s^2}$).

De esta forma, gracias a que c es una constate universal podemos eliminar una unidad de nuestro sistema de unidades. Por ejemplo, podemos eliminar la unidad de distancia y a partir de ese momento medir las distancias con "segundos-luz" (que equivalen a un poco menos de 300 millones de metros). Es una unidad tan válida como cualquier otra, y sabemos como pasar de esas unidades al sistema internacional. Aunque usemos la misma unidad en este sistema de unidades no significa que una distancia y un intervalo temporal sean lo mismo (aunque la relatividad puede tener algo que decir al respecto); igual que un torque y una energía no son lo mismo.

En cuanto a $\hbar$, su valor en el SI incluye tres unidades básicas (metro, segundo y kilo). Entre las dos primeras ya tenemos una relación establecida; pero si hacemos $\hbar = 1$ podemos establecer una relación entre el kilo y las anteriores.

Hasta ahora sólo podemos establecer relaciones entre unidades, pero no podemos establecer valores concretos para cada unidad porque tenemos tres unidades y sólo hemos utilizado dos constantes (tenemos dos ecuaciones para tres incógnitas; podemos dejar dos de las dimensiones en función de la tercera). Si añadimos al juego una tercera unidad que sólo dependa de esas mismas tres unidades, entonces podremos "aislar" de forma completa. La elección usual es la constante de la gravitación universal de Cavendish (G = 1). El sistema de unidades naturales en que $c = \hbar = G = 1$ recibe el nombre de unidades de Planck. Seguro que te suena lo de "distancia de Planck" o "masa de Planck".

Elegir unidades de esta forma nos permite simplificar mucho las ecuaciones, pero también tiene la desventaja de que no podemos usar el análisis dimensional, ya que toda la información de las unidades ha desaparecido. En muchas ocasiones, el análisis dimensional es útil para detectar fallos tontos en un cálculo: por ejemplo, si mantenemos las unidades del SI (y por lo tanto arrastramos todas las constantes), rápidamente sabríamos que una ecuación como E^2 = m^2 + p^2 es obviamente incorrecta. Sin embargo, en unidades naturales esta ecuación no sólo es dimensionalmente correcta, sino que una ecuación cierta en relatividad especial.

No obstante, el sistema de unidades que uno elija no cambia la física. Siempre es posible recuperar la ecuación correcta, para hacerlo sólo hay que aplicar potencias de las constantes que hemos utilizado para definir las unidades naturales. Es decir, se trata de añadir potencias de las constantes a cada término, y usar el análisis dimensional para ver cual es la potencia correcta. Por ejemplo, para devolver al SI la ecuación del párrafo anterior es fácil demostrar que es suficiente con añadir un par de c's: $E^2 = m^2 c^4 + c^2 p^2$.

Otra forma de pensar las unidades naturales es la siguiente: Utilizamos las constantes que queremos eliminar de las ecuaciones para crear la "unidad natural" para cada magnitud. Esto es puro análisis dimensional. Por ejemplo, con las unidades de Planck, es fácil demostrar que sólo hay una forma de combinar $\hbar$, c y G para obtener una longitud, una energía, una unidad de tiempo, etc:

$$<br /> \ell_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} , \quad<br /> m_P = \sqrt{\frac{\hbar c} G} \ , \quad<br /> t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \ , \quad<br /> E_P = \sqrt{\frac{\hbar c^5} G} \ , \quad<br /> p_P = \sqrt{\frac{\hbar c^3}G} , \cdots$$

Entonces, cuando encontramos una ecuación como $E^2 = m^2 + p^2$, lo que tenemos que pensar es que cada magnitud en realidad está dividida por su unidad natural. De esta forma, tenemos que pensar que cuando vemos E, en realidad tenemos $E/E_P$. Este cociente de cada magnitud por su unidad natural nos permite tratar todas las unidades como si fueran adimensionales por comodidad. Para volver a la ecuación completa, en el SI, simplemente tenemos que substituir cada magnitud por el cociente anterior y simplificar:

$$E^2 = m^2 + p^2 \longrightarrow \dfrac{E^2}{\hbar c^5/G} = \dfrac{m^2}{\hbar c / G} + \dfrac{p^2}{\hbar c^3/G} .$$