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[cristianoceli]

Hola me podrían ayudar a plantear el ejercicio (no se como plantearlo):


Un bote cruza un río, de tal forma que sale desde un punto (x) y llega al otro lado, a un punto x’, el cual esta a una distancia d hacia abajo del punto x y al otro lado del río, cuyo ancho es L. La velocidad de la corriente del río es uo y el valor de la velocidad del bote respecto al agua es vo. Considere los valores que se indica y determine:
$v_0 = 8 (m/s)$ ; $u_0 = 5 (m/s); L = 120 (m); d = 50 (m)$
a) El ángulo en que deberá enfilarse el bote.
b) El tiempo que tardará el bote en llegar al punto $x^{\prime}$.

[visitante20160513]

Re: Bote cruzando un río

Piensa que la velocidad del bote respecto de la orilla se obtiene sumando la velocidad del bote respecto del agua con la velocidad del agua respecto de la orilla (velocidad de la corriente). Si conocemos la velocidad del bote respecto de las orillas resulta entonces sencillo hacer el cálculo que nos piden.

[cristianoceli]

Re: Bote cruzando un río

Voy a tratar de plantearlo a ver que sale.

Saludos

EDITO

La verdad lo intenté pero no logró razonar bien no puedo calcular velocidad del bote respecto de la orilla ya que no se en que ángulo golpea la corriente albote, sabemos que o es 90º porque el bote tiene una inclinación hacia x` (ángulo en que debe enfilarse)

[felmon38]

Re: Bote cruzando un río

La figura indica que ese ángulo es de 90°.
Saludos

[Alriga]

Re: Bote cruzando un río

La figura indica que ese ángulo es de 90°.
Saludos

Es lo que yo entendía al principio, pero si el bote partiese perpendicular a la orilla es sencillo calcular que cuando hubiese recorrido 120 m en la dirección "x" en el mismo tiempo habría recorrido 75 m en la dirección "y" a favor de la corriente. Pero el enunciado dice que son sólo 50 m, ello implica que el bote boga con un cierto ángulo "hacia arriba", es decir contracorriente.

$x=v \cos a \ t$
$y=(u-v \sin a)t$

$L=v \cos a \ t_f$
$d=(u-v \sin a)t_f$

Dividiendo ambas expresiones, convirtiendo el coseno en seno y elevando al cuadrado:

$(L u-L v \sin a)^2=d^2 v^2 (1- sin^2 a)$

$(L^2 v^2+d^2 v^2) \sin^2 a -(2 L^2 u v) \sin a+(L^2 u^2 -d^2 v^2)=0$

Resolviendo la ecuación de 2º grado, se obtienen 2 soluciones:

$\sin a=0,218391 \$ a=12,61º
$\sin a=0,846698 \$ a=57,84º

Para calcular el tiempo

$t_f=\dfrac{L}{v \cos a}$ que da un resultado para cada posible ángulo:

15,37 s
28,19 s

Sustituyendo cada uno de los 2 posibles valores en la otra ecuación:

$t_f=\dfrac{d}{u-v \sin a}$ se obtiene:

15,37 s
-28,19 s lo que permite descartar el ángulo de 57,84º

Luego el ángulo pedido es 12,61º y el tiempo pedido 15,37 s salvo error por mi parte.
Saludos.

[felmon38]

Re: Bote cruzando un río

Alriga, no lo tienes bien planteado porque v no es la velocidad del bote respecto de la Tierra, sino la relativa respecto del agua. Mira el mensaje de Jabato.
Saludos

[cristianoceli]

Re: Bote cruzando un río

Según el solucionario de la guía las respuestas son:

a) 12.8º
b)15,6 (s)

[Alriga]

Re: Bote cruzando un río

... v no es la velocidad del bote respecto de la Tierra, sino la relativa respecto del agua ...

Creo que eso es exactamente lo que he hecho:

-Velocidad del bote respecto del agua:

Módulo v = 8 m/s
Argumento a = 12,61º

$\vec v_{bote-agua}=v \cos a \ \vec i+v \sin a \ \vec j$

Velocidad del agua respecto de tierra:

$\vec u=-u \ \vec j$

-Velocidad del bote respecto de tierra.

$\vec v_{bote-tierra}=\vec v + \vec u = v \cos a \ \ \vec i +(v \sin a - u) \ \vec j$

-El ángulo del vector velocidad del bote respecto de tierra:

$b=\arctan(\dfrac{v \sin a - u}{v \cos a})$

b=-22,62º

Es decir, el ángulo de la velocidad del bote respecto de tierra es de 22,62º "hacia abajo", (a favor de la corriente)
El vector de posición del bote es:

$\vec r=[ \ v \cos a \ \ \vec i +(v \sin a - u) \ \vec j \ ] \ t$

Si sustituimos t=15,37 se obtiene:

$\vec r=119,992 \ \vec i-49,997 \ \vec j$ que coincide con el enunciado.

Según el solucionario de la guía las respuestas son:
a) 12,8º
b)15,6 (s)

Supongo que la diferencia entre el solucionario y lo que he calculado debe ser error de redondeo.

Saludos.

[cristianoceli]

Re: Bote cruzando un río

Si como tu dices Alriga debe ser error de redondeo

[felmon38]

Re: Bote cruzando un río

Alriga, perdona porque tienes toda la razón. Me despistó la posición del bote en la figura y no creí que era un dato d. Un desastre.
Saludos