1r ciclo Aeroplano

[gaussiano]

Considerar un aeroplano que desciende, alcanza una altura maxima y luego desciende, siguiendo un arco de circunferencia de radio R, mientras viaja con velocidad constante cuyo modulo es v. La velocidad del avion es tal que en el punto mas alto el piloto "no pesa". Demuestra que el modulo de la fuerza F ejercida por el avion sobre el piloto es $F=2mg\sin(\theta/2)$ donde m es la masa del piloto y $\theta$ es el angulo entre la velocidad del avion y la horizontal.
Lo que yo he hecho. He supuesto que la fuerza que me piden es la Normal que el asiento hace sobre el piloto. Cuando pinto las fuerzas que actuan, pongo el peso y la Normal, descompongo esta y me fijo que en el eje Y, la componente del peso - Normal= masa por aceleracion centripeta. Como luego me dice que en el punto mas alto no pesa, he supuesto que $mg=m{v}^{2 }/r$ y de ahi y de la identidad trigonometrica $1-\cos\theta=2{\sin}^{2 }(\theta/2)$ obtengo que $N=-2mg{\sin}^{2 }(\theta/2)$ que no es lo que tiene que salir, y ademas, negativo. ¿Que hago mal? Gracias

[arivasm]

Re: Aeroplano

Puesto que el piloto está describiendo una circunferencia con velocidad constante, su aceleración está dirigida hacia el centro de la circunferencia y vale $v^2/R$. De acuerdo con la 2ª ley de Newton, la suma de las dos fuerzas que actúan sobre él, que son su peso y la F que ejerce el avión sobre él, será igual a $mv^2/R$.

Antes de nada, no es adecuado pensar que será la normal. De hecho tendrá componentes tanto centrípeta como tangencial. El asiento no sólo empuja al piloto hacia el centro de la trayectoria, sino también en la dirección de ésta.

Como en el punto más alto el peso aparente es nulo, es decir, F=0, tenemos que $mv^2/R=mg$, lo que facilita el cálculo.

En cualquier otro punto de la circunferencia sabes que el peso, mg, es vertical. Sabes también que la suma de ésta con F está dirigida hacia el centro de la circunferencia y que también vale mg. Si construyes la figura de la suma de vectores, con el procedimiento de poner un vector a continuación del otro, verás que forman un triángulo isósceles, en el que los dos lados iguales (peso y resultante) forman un ángulo $\theta$. Si aplicas el teorema del coseno inmediatamente obtienes que $F=mg \sqrt{2(1-\cos\theta)}$. Con la identidad que has puesto resulta finalmente el resultado buscado.

Ahora comento lo que has puesto.

Cuando pinto las fuerzas que actuan, pongo el peso y la Normal

Como dije antes, la fuerza que ejerce el asiento no es normal a la trayectoria. Es imposible que al sumar un vector dirigido hacia el centro de la circunferencia con otro vertical el resultado también apunte hacia el centro de la circunferencia.

, descompongo esta y me fijo que en el eje Y, la componente del peso - Normal= masa por aceleracion centripeta.

Aquí no queda claro qué pones, pues al decir "descompongo ésta" se entiende que te refieres a que descompones la normal, pero luego hablas de la descomposición del peso.

Como imagino que no habrás pensado en que la aceleración es vertical, entiendo que lo que querías decir es que descompones el peso. El problema de lo que pones no está en la componente radial del peso, sino en la tangencial: si fuese como has puesto también tendrías una componente tangencial para el mismo, que sería igual a la componente tangencial de la fuerza resultante. Consecuencia: el movimiento posee aceleración tangencial, de modo que la velocidad no será constante.

[gaussiano]

Re: Aeroplano

solo una cuestion para aclararme: ¿podrias dibujarme el esquema de fuerzas? Es que no sé en que direccion dibujar la fuerza del motor y por que. Gracias

[Alriga]

Re: Aeroplano

¿podrias dibujarme el esquema de fuerzas? Es que no sé en que direccion dibujar la fuerza del motor y por que

No se dibujar mucho con el paint, pero creo entender que lo que te explica arivasm es esto:
El cada punto del recorrido la fuerza del avión sumada vectorialmente al peso ha de tener una resultante que vaya hacia el centro de la circunferencia y valga $m v^2 / R$

Tienes un triángulo isósceles formado por dos lados iguales, el peso y la fuerza que va hacia el centro de la circunferencia, (de valor mg ambos pues el enunciado dice que $m v^2 / R = mg$) y ambos lados del triángulo separados por el ángulo $\theta$
Solo hay que aplicar el teorema del coseno a ese triángulo para obtener el lado opuesto a $\theta$ que nos falta, que es la fuerza del avión que buscamos.


Saludos

[arivasm]

Re: Aeroplano



Veo que Alriga contestó mientras yo también preparaba la respuesta.

[Alriga]

Re: Aeroplano

Veo que Alriga contestó mientras yo también preparaba la respuesta.

Gaussiano, olvida mi dibujo y mira el de arivasm que está mucho mejor

arivasm, una curiosidad, ¿con qué programa has hecho el dibujo?
Gracias y saludos.

[arivasm]

Re: Aeroplano

Como sucede con tantos otros, con una maravilla gratuita y open-source: Inkscape.