Otras carreras Plantear una ecuación diferencial a partir de una esfera que cae

[cristianoceli]

Hola he quedado atascado con este ejercicio



Lo que he hecho

A) He planteado la siguiente ecuación diferencial $mg-kv^2= m \displaystyle\frac{dv}{dt}$ (supongo que es correcta)

B) Según lo que entiendo me pide que la resuelva (ya que me dice que separe variables y obtenga una relación entre velocidad y tiempo) y ahí tengo dificultades puesto que no es:


- De variables separables
- No es homogénea
- No es lineal
- No es de Bernoulli

Al parecer es no lineal y no se como resolverla

C) Me pide que haga un gráfico, debe ser una linea recta ya que la esfera va cayendo.

Saludos

[Alriga]

Re: Plantear una ecuación diferencial a partir de una esfera que cae

Es en variables separadas:

$\dfrac{m \cdot dv}{m g-kv^2}=dt$

Saludos

[Mossy]

Re: Plantear una ecuación diferencial a partir de una esfera que cae

Hola,

La ecuación la tienes bien. Puedes integrar directamente separando variables, ya que $mg$ es una constante. Te quedaría algo del tipo $\displaystyle dt = m \frac{ dv}{mg-k v^2}$, integras y obtienes el tiempo como función de la velocidad $t=t(v)$. Deberás despejar la velocidad en función del tiempo $v=v(t)$

[cristianoceli]

Re: Plantear una ecuación diferencial a partir de una esfera que cae

Gracias a ambos lo intentaré

- - - Actualizado - - -

Al resolver la ecuación diferencial obtengo esto:


$t = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{mg}}{g\sqrt[ ]{k}}arctan(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{k}v}{\sqrt[ ]{mg}})$


Y por lo visto debo despejar v quedando finalmente


$v =\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{mg}tan(\displaystyle\frac{tg\sqrt[ ]{k}}{\sqrt[ ]{mg}})}{\sqrt[ ]{k}}$

Entonces ¿solo basta darle valores y graficar para el apartado C?

[Alriga]

Re: Plantear una ecuación diferencial a partir de una esfera que cae

Pues a mí me sale:

$t=\sqrt{\dfrac{m}{g k}} \tanh^{-1} \left ( v \sqrt{\dfrac{k}{g m}} \right ) + Cte$

Para despejar la "v" recuerda que $\tanh^{-1}$ es la arcotangente hiperbólica.

Saludos.

[cristianoceli]

Re: Plantear una ecuación diferencial a partir de una esfera que cae

Pues a mí me sale:

$t=\sqrt{\dfrac{m}{g k}} \tanh^{-1} \left ( v \sqrt{\dfrac{k}{g m}} \right ) + Cte$

Para despejar la "v" recuerda que $\tanh^{-1}$ es la arcotangente hiperbólica.

Saludos.

Te dio lo mismo que a mi pero escrito de otra manera ya que se me olvido restar los g por propiedades de las potencias ¿como eso de la tangente hiperbolica? A pesar de que estudio matemáticas no recuerdo haberlo visto todavía. Si es así entonces nos e despejarlo

[Alriga]

Re: Plantear una ecuación diferencial a partir de una esfera que cae

Las funciones hiperbólicas son muy similares a las trigonométricas, mira aquí:

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%...perb%C3%B3lica

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Llamando a la $Cte=t_0$

$\tanh^{-1} \left ( v \sqrt{\dfrac{k}{g m}} \right )=\dfrac{t-t_0}{\sqrt{\dfrac{m}{gk}}}$

$v=\sqrt{\dfrac{gm}{k}} \ \tanh \left [\sqrt{\dfrac{gk}{m}}(t-t_0) \right]$

Saludos.

[cristianoceli]

Re: Plantear una ecuación diferencial a partir de una esfera que cae

Muchas gracias lo intentaré a ver si llego a lo mismo. Ahora debería darme una recta (por el tipo de movimiento).

Una consulta al graficar considero v en el eje de las ordenadas y tanh(raiz(t-t_0)) en el eje de las ordenadas y pasaría por el origen. O simplemente le doy valores y lo gráfico normal.

Saludos

[Alriga]

Re: Plantear una ecuación diferencial a partir de una esfera que cae

Observa una cosa importante, mira en el link en el que está la gráfica: https://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_hiperb%C3%B3lica
La función tangente hiperbólica tiene asíntota horizontal cuando "t" tiende a infinito
En nuestro caso si empezamos a contar el tiempo en t=0, entonces $t_0=0$ yqueda:

$v(t)=\sqrt{\dfrac{m \ g}{k}} \ \tanh \left [\sqrt{\dfrac{gk}{m}} \ t \right]$

Como para t -> infinito $\tanh \left [\sqrt{\dfrac{gk}{m}} \ t \right]=1$ eso significa que hay una velocidad límite, (la velocidad de la esfera llega un momento que ya prácticamente no crece)

La velocidad límite es $v_{limit}=\sqrt{\dfrac{m \ g}{k}}$ lo cual si lo piensas es lógico que "m g" esté en el numerador y "k" en el denominador.

La gráfica v(t) tendrá la forma del link, y si la quieres dibujar es muy fácil, da valores, por ejemplo m=1 g=10 y k=0.016

Para calcular la tangente hiperbólica puedes usar la calculadora científica del Windows, que la tiene directamente o la función TANH(t) del EXCEL.

Saludos.

[cristianoceli]

Re: Plantear una ecuación diferencial a partir de una esfera que cae

Muchas gracias Alriga por lo de hoy y lo de siempre, me has sacado de muchos apuros.
Saludos

[visitante20160513]

Re: Plantear una ecuación diferencial a partir de una esfera que cae

Hay otra forma de resolverla puesto que es una ecuación del tipo Riccati que puede resolverse si se conoce una particular. En este caso suponer que $v_o=Cte$ nos conduce a una particular puesto que:

$v_o=\displaystyle\sqrt{\frac{mg}{k}}=Cte$

es solución particular de dicha ecuación. El cambio $v=z+v_o$ nos conduce a una Bernoulli que es muy fácil de resolver.

NOTA: el valor obtenido para $v_o$ es precisamente la velocidad límite. Date cuenta que cuando se alcanza dicha velocidad la fuerza resultante es nula porque el rozamiento compensa exactamente el peso y entonces la velocidad permanece constante.

Salu2, Jabato.

[cristianoceli]

Re: Plantear una ecuación diferencial a partir de una esfera que cae

Si tenia sospecha que era de Riccati pero no llegue a nada, debi haberme ensusiado mas las manos y haber tirado un poco mas el lapiz . Un desastre
Saludos

[visitante20160513]

Re: Plantear una ecuación diferencial a partir de una esfera que cae

Bueno, nadie nace sabiendo, yo he resuelto muchas como ésta y de otros muchos tipos y además éste es un problema clásico que aparece en muchos libros de forma que la práctica resuelve muchos problemas que la teoría no alcanza a resolver. De hecho las EDO más difíciles son las primeras 10.000 luego ya son todas muy fáciles.

Salu2, Jabato.