1r ciclo Base de autovectores común

[sater]

Buenas, haciendo el siguiente ejercicio




De primeras he pensado que no conmutarían puesto que A es diagonal en esa base y B no. Pero haciendo el producto si sale que conmutan luego deben poseer una base de autovectores común. El caso es que no se como hacer para encontrarla a la vez. ¿Alguna ayuda?
Gracias de antemano.

[alexpglez]

Re: Base de autovectores común

Quizá, una forma aunque no muy rápida ni eficaz. La matriz A, tiene muchos 0, si planteas las ecuaciones de valor propio vector propio, verás que salen que lo cumplen infinitos vectores (dependientes de parámetros). No he hecho los cálculos para B, pero imagino que se pueden hallar estos parámetros para que concuerden con los autovectores de B.

Aviso que soy muy poco entendido, y estoy seguro de que hay una manera más rápida y eficaz.
Saludos.

[sater]

Re: Base de autovectores común

Buscando he encontrado que en el Cohen, en el segundo capítulo -el de herramientas matemáticas de la mecánica cuántica-, describen el método con el que se resuelve.
Voy a leerlo y a ver que tal, gracias igualmente.
Un saludo

pd: una vez leído, lo que demuestra es que siempre es posible encontrar una base de autovectores comunes a A y B en un subespacio propio de A si Ay B conmutan. En algoritmo descrito consiste en diagonalizar la matriz B por bloques, coger los bloques que no sean diagonales y diagonalizarlos. Los autovectores que encuentras siguen siendo autovectores de A.

[necao]

Re: Base de autovectores común

i) para demostrar que conmutan hay que demostar que [A,B]=0 es decir AB-BA=0 el metodo mas sistematico es multiplicar las matrices. En este caso conmutan
ii) si no comutasen esta no se podria calcular . Es problema de algebra, calculo de vectores propios ...
iii) un cambio de base de lamatriz B en base a los vectores de ii

[sater]

Re: Base de autovectores común

Si, si el problema era que no entendía como encontrar una base para ambas. Pero ya vi que en el Cohen trataban el tema. Gracias igualmente, un saludo

[sater]

Re: Base de autovectores común

Respecto a este ejercicio (bueno uno muy similar en el que me definen el hamiltoniano como la matriz A pero los ujnos de la diagonal están en las posiciones (3,3) y (4,4)) me dicen si las matrices son observables y si forman un CSCO( Complete Set of Commuting Observables). Un observable se define como un operador lineal hermítico cuyo espacio de autovectores es base del espacio de estados.
En la teoría el Cohen dice que en un espacio de dimensión finita dado un operador hermítico sus autovectores siempre podrán ser base del espacio (me suena a resultado del álgebra lineal que en su día debí dar pero no me acuerdo ya). El caso que luego el resuelve un ejercicio parecido, en un espacio 3D donde los operadores tienen autovalores repetidos. Y dice que ninguno de ellos por sí mismos es un observable, pues dado un autovalor puedes identificar dos autovectores o más que le corresponden. En eso estoy de acuerdo, pero entonces no entiendo que si son hermíticos puedan formar base del espacio en el que están pero no ser observables (el hecho de ser observable ya debería convertir al conjunto formado por tí mismo en un CSCO ¿no?).

Gracias de antemano, un saludo.