1r ciclo Función de onda del oscilador armónico

[mrmgranada]

Tengo una duda sobre la obtención de la función de onda del oscilador armónico. Se supone que la función de onda debe anularse cuando la posición tiende a infinito, pero ¿por qué no se hace que se anule en los dos puntos de máxima amplitud y la región del espacio que quede fuera del intervalo delimitado por ambos valores no pertenezca al dominio de la función? Matemáticamente sí veo más lógico lo del infinito, pero por el significado físico no entiendo por qué no se restringe la función de onda al intervalo [r-A,r+A], [0,2A] o equivalentes, siendo r la posición de equilibrio y A la amplitud.

¿Alguien puede solucionarme la duda?


Gracias

[alexpglez]

Re: Función de onda del oscilador armónico

Hola, para que una onda tenga significado físico, y la matemática de la mecánica cuántica funcione "bien" (la función debe ser de cuadrado integrable), tiene que anularse en el infinito.
Lo de anularse en los puntos con mayor amplitud, eso es una suposición guiada de la mecánica clásica, pero que no tiene porque darse en el caso cuántico.

[arivasm]

Re: Función de onda del oscilador armónico

En mecánica clásica partimos de la idea de que el oscilador no puede moverse más allá de los puntos de retroceso porque en esa región la energía cinética será negativa, lo que implica un valor imaginario de la velocidad.

Ahora bien, en Mecánica cuántica la descripción de los sistemas es radicalmente diferente, y no hay razón alguna por la que no deba existir una probabilidad no nula de que la partícula se encuentre fuera de las regiones en las que la energía mecánica es inferior a la energía potencial, como sucede con un oscilador armónico y las regiones más allá de los puntos de retroceso clásicos.

Digamos que en ninguno de los postulados de la Mecánica cuántica existe limitación alguna al respecto, por lo que el formalismo es otro: resolvamos la ecuación de Schrödinger y veamos cuál es la densidad de probabilidad.

Como ha dicho Álex, la única restricción es que la función de onda ha de ser de cuadrado integrable, lo que implica su anulación en el infinito (pues sin ello no sería posible afirmar que la probabilidad de que la partícula esté en un volumen que abarque todo el espacio es del 100%, ya que, de lo contrario, dicha cantidad, al ser calculada con el formalismo cuántico, no estaría acotada).

Es interesante tener en mente que, aunque la detección de la partícula fuera de las zonas clásicas es posible en Mecánica cuántica, la densidad de probabilidad correspondiente decae de un modo aproximadamente exponencial con el "exceso" de energía potencial (en realidad, con la raíz cuadrada del mismo) respecto de la energía mecánica. Es por ello que si es U=infinito, como sucede con la partícula en una caja, la densidad de probabilidad es nula y podemos decir que la función de onda es nula en los bordes de la caja.

En otras palabras: la densidad de probabilidad de detectar el oscilador fuera de la zona clásica decae muy rápidamente en dichas regiones.

Por último decir que esa "renuncia" a imponer un límite clásico a dónde pueden ser detectados los sistemas abrió una puerta muy fructífera: el efecto túnel, esencial a la hora de explicar fenómenos nucleares como son la fusión o la desintegración alfa; también es el fundamento de los llamados microscopios de efecto túnel.

[mrmgranada]

Re: Función de onda del oscilador armónico

por lo que el formalismo es otro: resolvamos la ecuación de Schrödinger y veamos cuál es la densidad de probabilidad.

Para el caso de la partícula en una caja lo que yo he leído es que para obtener la función de onda impones como condiciones de contorno que se anule en las paredes de la caja, por lo que ya no estás considerando que la partícula pueda salir de la caja. ¿Por qué ahí sí supones que no es posible encontrar la partícula en cualquier región del espacio? (no sé si donde lo he leído es incorrecto o de verdad se impone ya una región donde se tiene que encontrar la partícula)

[alexpglez]

Re: Función de onda del oscilador armónico

Para el caso de la partícula en una caja lo que yo he leído es que para obtener la función de onda impones como condiciones de contorno que se anule en las paredes de la caja, por lo que ya no estás considerando que la partícula pueda salir de la caja. ¿Por qué ahí sí supones que no es posible encontrar la partícula en cualquier región del espacio? (no sé si donde lo he leído es incorrecto o de verdad se impone ya una región donde se tiene que encontrar la partícula)

Si te fijas en las condiciones del problema, dicen que el potencial es infinito a los lados, si quieres intentar resolver la ecuación te da $\Psi=\lim_{k \to \infty} e^{-k x}=0$ para x mayores que la longitud de la caja y en los límites por la izquierda, si quieres que la función de onda sea continua (que debe serlo según la mecánica cuántica) tiene que ser 0 en los límites por la derecha de la caja.