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Hilo: ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

  1. #1
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    Predeterminado ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

    Hola, tengo una duda en estadistica respecto a la distribución normal, lo que no entiendo es que a veces la distribución es N(μ,σ), y otras N(μ,σ/√n),
    Se que si se conoce la media (μ), la desviación típica (σ), y se sabe que la variable aleatoria sigue una distribución normal, entonces la función de densidad es N(μ,σ). Pero lo que no entiendo es cuando es que se usa esa √n, y de donde es que sale.
    Muchas gracias de antemano.

    Saludos

  2. #2
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    Predeterminado Re: ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

    Hola.

    Puede ser que se esté refiriendo a la varianza de la media. Es decir si tenemos n variables aleatorias en las que se cumple X_i\sim N(\mu,\sigma^2), la media \bar{X}=\dst\sum_{i=1}^n\dfrac{X_i}{n} tendrá distribución \bar{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right).

    No es muy difícil demostrarlo en caso de que te interese saber de donde surge tal relación.

    Saludos
    Carmelo

  3. El siguiente usuario da las gracias a carmelo por este mensaje tan útil:

    danielandresbru (24/03/2016)

  4. #3
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    Predeterminado Re: ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

    Se parte la desviación típica de la raíz de n cuando nos piden la probabilidad con respecto a la media.
    Por ejemplo estamos midiendo la masa corporal de las personas y nos dicen que siguen una normal N(16,4). Se extrae una muestra de 64 personas y nos piden la probabilidad de que la masa corporal media de la muestra este por debajo de 15.
    Entonces pasamos a una normal para la media N(16, 4/8)=(16; 0,5) y se trabaja con este nuevo dato.

  5. #4
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    Predeterminado Re: ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

    Hola Carmelo, sabes donde esta esa demostración?

  6. #5
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    Predeterminado Re: ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

    Hola.

    Sean X_i , i=1,2,\ldots n variables aleatorias independientes con media \mu y varianza \sigma^2.

    Por lo tanto se sabe que:
    E[X_i]=\mu

    E[(X_i-\mu)^2]=\sigma^2


    Además se tiene que \bar{X}=\dst\sum_{i = 1}^n \dfrac{X_i}{n}

    E[\bar{X}]=E\left[\dst\sum_{i = 1}^n \dfrac{X_i}{n}\right]=\dst\sum_{i = 1}^n \dfrac{E[X_i]}{n}=\...

    E[(\bar{X}-\mu)^2]=E\left[\dst\sum_{i = 1}^n \dfrac{X_i}{n}-\mu\right]^2\right]=\dfrac 1 {n^2}E\l... \dfrac 1 {n^2}E\left[ \dst\sum_{i = 1}^n (X_i-\mu) \dst\sum_{j= 1}^n (X_j-\mu)  \right]=

    =\dfrac 1{n^2}E\left[\dst\sum_{i=1}^n\dst\sum_{j=1}^n\left[(X_i-\mu)(X_j-\mu)\right]\right]=\dfra... \dfrac 1{n^2}\dst\sum_{i=1}^n\dst\sum_{j=1}^n\left[E[X_iX_j]-\mu(E[X_i]+E[X_j])-\mu^2\right]=

    =\dfrac 1{n^2}\dst\sum_{i=1}^n\dst\sum_{j=1}^n\left(E[X_iX_j]-\mu^2\right)

    Dado que son independientes se tiene para i\neq j\Rightarrow E[X_iX_j]=E[X_i][X_j]=\mu^2 y la contribución a la sumatoria de estos términos es nula. Por lo tanto sólo contribuiran a la sumatoria los términos con i=j, y por lo tanto se tiene:

    E[(\bar{X}-\mu)^2]=\dfrac 1{n^2}\dst\sum_{i=1}^n\left(E[X_i^2]-\mu^2\right)=\dfrac{n\sigma^2}{n^2...

    Saludos
    Carmelo

    PD. Nota que no se supuso en ningún momento que la distribución fuera normal.
    Última edición por carmelo; 25/03/2016 a las 06:37:25. Razón: Agregar PD

  7. El siguiente usuario da las gracias a carmelo por este mensaje tan útil:

    danielandresbru (25/03/2016)

  8. #6
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    Predeterminado Re: ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

    Hola Carmelo, una última duda. Cual sería la interpretación de esto?.
    Porque la lo de la E[X] yo lo interpreto comolo que se esperaque valga una media muestral, pero el de E[(X-μ)²], yo lo interpreto comoloqe se espera que valga la X(media muestral) menos la μ(media), pero es qe si fuera así, como yo espero que la X valga μ, entoces E[(X-μ)²] tendria que ser cero, entonces en realidad no se a que se refiere E[(X-μ)²].

    Salidos

  9. #7
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    Predeterminado Re: ¿Qué significa la raiz de n en una distribución normal?

    Es la definicion de varianza y da la dispersion en torno a la media. No es cero, porque esta elevado al cuadrado. En una distribución normal seria que tan ancha o angosta es la campana.

    Saludos.
    Carmelo

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