1r ciclo Fórmula integral couchy

[Mbia]

Hola a todos!

Estaba intentando hacer un ejercicio por entretenimiento pero creo que algo he plantedo mal.

El ejercicio dice lo siguiente:
En la demostraci´on del Teorema de Blasius de las fuerzas, un resultado fundamental en fluidodinámica, aparece la integral
$I=\oint{{\left[ U\left( 1-\frac{{a}^{2 }}{{z}^{ 2} } \right)-\frac{i\Gamma}{ 2\pi z} \right]}}^{2}dz$


donde U y Γ son constantes reales, y C es un contorno cerrado recorrido en sentido antihorario que encierra el punto z = 0. Calcular I usando la fórmula integral de Cauchy.

Bien, lo que yo he hecho es expresarlo de la siguiente manera:

$\oint\frac{{(2\pi{a}^{2 }U+i\Gamma z -2\pi U{z}^{ 2}})^{2}/4{\pi}^{2 }}{{z}^{4}} dz$

Entonces cogiendo f(z) como todo numerador y usando la fórmula de Couchy la integral sera igual a:

$\frac{i2\pi}{ 3!} f'''(0)$

Y la tercera derivada del numerador me da igual a:

$\frac{6U(4Uz\pi-i\Gamma}{\pi }$

Por lo que evaluandolo en 0 y metiendolo en la expresion que he puesto anteriormente el resultado de la integral será

$3U\Gamma$


Eso es a lo que yo he llegado, pero no estoy nada seguro de lo que he hecho, por eso recurro aqui a ver si alguien me da una buena idea de por donde tirar ya que no tengo mucha confianza con mi uso de estas materias.

Muchas gracias de antemano.
Un saludo

[arivasm]

Re: Fórmula integral couchy

Revisa la integral que pones (por cierto, viendo el LaTeX veo que hay un $2\pi z$ en el segundo denominador) pues
$\dst U\left( 1-\frac{a^2}{z^2} \right)-\frac{i\Gamma}{ 2\pi z}=\frac{2\pi U(z^2-a^2)-i\Gamma z}{2\pi z^2}=\frac{f(z)}{z^2}$
Al aplicar la fórmula integral de Cauchy, como el denominador es nulo en $z=0$ la integral será $2\pi i f'(0)=\Gamma$

[Mbia]

Re: Fórmula integral couchy

Corregí los errores en el mensaje, ahora está bien saqué denominador comun. Y mi funcion f(z) es analoga a la tuya.
Pero al estar z a la cuarta en el denominador no habría que derivarlo tres veces, con lo que llegaríamos a mi solución

Gracias por la ayuda!

[arivasm]

Re: Fórmula integral couchy

¿Cómo que z está elevado a la cuarta potencia en el denominador?

[Mbia]

Re: Fórmula integral couchy

Ay disculpa, soy un desastre, copie mal el enunciado la integral es
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

De ahí mis resultados. Y por lo que mi denominador es z a la cuarta potencia.

[arivasm]

Re: Fórmula integral couchy

Antes de nada: insisto en que tienes en el LaTeX un 2\piz que debería ser 2\pi z.

Yo encuentro (por supuesto, si no me he equivocado) que el valor de la tercera derivada del numerador en $z=0$ es $\dst - 12 i \frac{\Gamma U}{\pi}=\frac{24 U\Gamma}{2\pi i}$ con lo que el resultado sería $4U\Gamma$

[Mbia]

Re: Fórmula integral couchy

Perdón, toda la razón, faltaba en el denominador, ya lo he corregido, pero a mi me sigue dando lo mismo:



Y con eso sale el resultado que me da a mi, es correcto? Tambien lo hice en papel y me da eso.

[arivasm]

Re: Fórmula integral couchy

Revisé mi cálculo. Para la tercera derivada encuentro $\dst \frac{12\Gamma U}{2\pi i}$, con lo que el resultado de la integral es $2\Gamma U$.

Por aclarar el primer resultado. Llamaré $g(z)=U(z^2-a^2)+Kz$, donde $\dst K=-\frac{i\Gamma}{2\pi}$. Como $f(z)=[g(z)]^2$, tenemos que $f'=2gg'$, $f''=2(g')^2+2gg''$ y $f'''=6g'g''+2gg'''$. Como $g'''(z)=0$ tenemos que $f'''(0)=6g'(0)g''(0)$. Puesto que $g'(0)=K$ y $g''(0)=2U$ resulta $\dst f'''(0)=12UK=-\frac{12i\Gamma U}{2\pi}=\frac{12 \Gamma U}{2\pi i}$.

Respecto de la integral, su valor será $\dst\oint \frac{f(z)}{z^4}=2\pi i \frac{f'''(0)}{3!}=2\Gamma U$

[Mbia]

Re: Fórmula integral couchy

Revisé mi cálculo. Para la tercera derivada encuentro $\dst \frac{12\Gamma U}{2\pi i}$, con lo que el resultado de la integral es $2\Gamma U$.

Por aclarar el primer resultado. Llamaré $g(z)=U(z^2-a^2)+Kz$, donde $\dst K=-\frac{i\Gamma}{2\pi}$. Como $f(z)=[g(z)]^2$, tenemos que $f'=2gg'$, $f''=2(g')^2+2gg''$ y $f'''=6g'g''+2gg'''$. Como $g'''(z)=0$ tenemos que $f'''(0)=6g'(0)g''(0)$. Puesto que $g'(0)=K$ y $g''(0)=2U$ resulta $\dst f'''(0)=12UK=-\frac{12i\Gamma U}{2\pi}=\frac{12 \Gamma U}{2\pi i}$.

Respecto de la integral, su valor será $\dst\oint \frac{f(z)}{z^4}=2\pi i \frac{f'''(0)}{3!}=2\Gamma U$

Muchas gracias! Ya coincido con tu resultado al 100%!