Divulgación Matrices de pauli en un sistema tridimensional

[inakigarber]

Buenas noches;
Quizá sea una tontería lo que voy a preguntar, pero es que no puedo quitármela de la cabeza.
¿Por qué las matices de Pauli son distintas para el eje x, el y y el z si en todos los casos representan a la misma magnitud?
Ya se que sus autovalores, sus medias aritméticas y sus medias cuadráticas tienen exactamente el mismo valor y por tanto representan las mismas magnitudes y las mismas probabilidades de que se den todos los valores posibles. Supongo que tras ello hay algún motivo que se me escapa. ¿Cual?
Saludos y gracias.

[carroza]

Re: Matrices de pauli en un sistema tridimensional

Hola.

Las matrices de pauli no representan la misma magnitud.

El ejemplo análogo más claro son los operadores momento angular:

$L_z = x p_y - y p_x$

$L_x = y p_z - z p_y$

$L_y = z p_x - x p_z$

Estos tres operadores representan magnitudes distintas. Cuando se evaluan las matrices que los representan en una base dada, por ejemplo los armónicos esféricos con $l=1, m_l=+1,0,-1$, se obtienen tres matrices diferentes, pero los autovalores de las tres son los mismos: +1, 0 y -1 (multiplicados por $\hbar$).

[inakigarber]

Re: Matrices de pauli en un sistema tridimensional

Hola.

Las matrices de pauli no representan la misma magnitud.

El ejemplo análogo más claro son los operadores momento angular:

$L_z = x p_y - y p_x$

$L_x = y p_z - z p_y$

$L_y = z p_x - x p_z$

Estos tres operadores representan magnitudes distintas. Cuando se evaluan las matrices que los representan en una base dada, por ejemplo los armónicos esféricos con $l=1, m_l=+1,0,-1$, se obtienen tres matrices diferentes, pero los autovalores de las tres son los mismos: +1, 0 y -1 (multiplicados por $\hbar$).

No lo veo muy claro. A ver si voy entendiendo algo. El hecho de que los autovalores de cada una de las matrices sean +1, 0 y -1 (multiplicados por $\hbar$)
quiere decir que el momento angular sobre cualquiera de los ejes puede ser +1, 0 y -1 (multiplicados por $\hbar$). En física clásica podríamos decir que tenemos un vector momento lineal cuyas proyecciones sobre los ejes x, y y z las conocemos con precisión (en teoría infinita) y puede tener cualquier valor, pero en física cuántica solo podemos saber que cada proyección sobre los eje x, y y z pueden tener un valor que puede ser +1, 0 y -1 (multiplicados por $\hbar$). Amen de que si determinamos con exactitud el valor de una de las proyecciones (que dará un valor fijo +1, 0 y -1 (multiplicados por $\hbar$)) desconoceremos las otras dos. No se si me he expresado bien.
¿Es así?
Saludos y gracias.

[carroza]

Re: Matrices de pauli en un sistema tridimensional

No lo veo muy claro. A ver si voy entendiendo algo. El hecho de que los autovalores de cada una de las matrices sean +1, 0 y -1 (multiplicados por $\hbar$)
quiere decir que el momento angular sobre cualquiera de los ejes puede ser +1, 0 y -1 (multiplicados por $\hbar$). En física clásica podríamos decir que tenemos un vector momento lineal cuyas proyecciones sobre los ejes x, y y z las conocemos con precisión (en teoría infinita) y puede tener cualquier valor, pero en física cuántica solo podemos saber que cada proyección sobre los eje x, y y z pueden tener un valor que puede ser +1, 0 y -1 (multiplicados por $\hbar$). Amen de que si determinamos con exactitud el valor de una de las proyecciones (que dará un valor fijo +1, 0 y -1 (multiplicados por $\hbar$)) desconoceremos las otras dos. No se si me he expresado bien.
¿Es así?
Saludos y gracias.

Correcto. En mecánica clásica, uno puede tener sistemas en los que L_x, L_y y L_z estén totalmente determinados.

En mecánica cuántica, esto no es cierto. Por ejemplo, si nos restringimos a una base con tres estados (armónicos esféricos), con l=1, m_l =+1,0,-1, los operadores L_x, L_y L_z vienen determinados por las matrices.

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Por elemplo, si tomamos el estado l=1, m=+1 , que corresponde a la primera fila y columna de las matrices, para este estado L_z está perfectamente definido, correspondiendo al autovalor 1. La dispersión de valores para L_z es

$(\delta L_z)^2 = <L_z^2> - <L_z>^2= 0$

Sin embargo, L_x y L_y no estarían bien definidos. El valor esperado de L_x y L_y sería cero, y el valor esperado de $L_x^2$ y $L_y^2$ sería 1/2.
La dispersión de valores de L_x, para este estado, vendrá dado por

$(\delta L_x)^2 = <L_x^2> - <L_x>^2= 1/2$
Saludos

-

[inakigarber]

Re: Matrices de pauli en un sistema tridimensional

Necesitaré mas tiempo para entenderlo y asumirlo. La física cuántica es endiablada, entiendo lo que quiso decir Pauli cuando dijo que hubiera sido mejor que fuera actor que físico.
No se si voy acertado, pero se me ocurre una idea.
Supongamos que tuviera bolas de dos tamaños (Grande y pequeño) y también de dos colores rojo y verde. Si las hago pasar por un filtro que me las separa por tamaño y selecciono las grandes tendré, grandes rojas y grandes verdes. Puedo determinar el color y el tamaño de cada bola sin problemas. Esto es porque la condición del tamaño es independiente del color (y viceversa). Igualmente, en física clásica puedo determinar la proyección del momento angular en los ejes x, y y z sin ningún problema. En física cuántica no. Si conozco uno desconozco los otros dos. Es como si el hecho de determinar el color de una bola me imposibilitara saber su tamaño y viceversa. ¿Hay algún caso en física clásica en que se de esta situación?
Saludos y gracias.